人类数学发展的4个高峰 1、以《几何原本》为代表的古希腊的公 理化数学（公元前700—300)； ■2、以牛顿发明微积分为代表的无穷小算 法数学(17一18世纪) ■3、以希尔伯特为代表的现代公理化数学 (19—20世纪中叶)； ■4、以现代计算机技术为代表的信息时代 数学(20世纪中叶一至今)。 6
6 一． 人类数学发展的4个高峰 ◼ 1、以《几何原本》为代表的古希腊的公 理化数学（公元前700——300）； ◼ 2、以牛顿发明微积分为代表的无穷小算 法数学（17——18世纪） ◼ 3、以希尔伯特为代表的现代公理化数学 （19——20世纪中叶）； ◼ 4、以现代计算机技术为代表的信息时代 数学（20世纪中叶——至今）
让我们首先以宏观的历史视角，观察当 今数学所处的地位数学历史上新高峰 的起点。日本数学家、第九次国际数学 教育大会主席藤田宏教授在大会报告中 指出，人类历史上有四个数学高峰（引 用时有所修改)
7 ◼ 让我们首先以宏观的历史视角， 观察当 今数学所处的地位 - 数学历史上新高峰 的起点。 日本数学家、第九次国际数学 教育大会主席藤田宏教授在大会报告中 指出， 人类历史上有四个数学高峰（引 用时有所修改）
1、以《几何原本》为代表的古希腊的 公理化数学（公元前700 300) 数学的起源可以追溯到上古时期，尼罗河的泛 滥，两河流域文明， 印度文明和华夏文明都 做出过杰出的贡献。但是作为科学形态的数学， 还是以古希腊的演绎数学为高峰，它的意义也 不仅在数学，而是人类"理性思维"的第一个重 大胜利。欧几里得的《几何原本》成为影响人 类文明进程的里程碑。几何公理化体系的思想， 成为所有科学追求的一种境界
8 1、以《几何原本》为代表的古希腊的 公理化数学（公元前700——300） ◼ 数学的起源可以追溯到上古时期，尼罗河的泛 滥， 两河流域文明， 印度文明和华夏文明都 做出过杰出的贡献。 但是作为科学形态的数学， 还是以古希腊的演绎数学为高峰， 它的意义也 不仅在数学， 而是人类"理性思维"的第一个重 大胜利。欧几里得的《几何原本》成为影响人 类文明进程的里程碑。几何公理化体系的思想， 成为所有科学追求的一种境界
2、以牛顿发明微积分为代表的无 穷小算法数学(17一18世纪) 文艺复兴时期，虽然回到古希腊文明，欧几里得、阿 基米德等大数学家的光辉驱走了中世纪的黑暗。但是， 公理化思想推不出微积分。牛顿和莱布尼兹是在古希 腊的"穷竭法"求抛物线弓形面积"等思想的启发下， 焕发了新的科学活力。17-18世纪，可以说是一个数 学力量所向披靡的时代。尽管"无穷小"思想被贝克莱 大主教斥责为"逝去的鬼魂”，很不严格。可是实践证 明了微积分算法的巨大威力。在力学、光学、工程技 术领域获得的成功确立了微积分的划时代的历史地位。 以后的欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、傅立叶等大家的 推动，再次推动人类文明进入了一个新阶段
9 2、以牛顿发明微积分为代表的无 穷小算法数学（17——18世纪） ◼ 文艺复兴时期， 虽然回到古希腊文明， 欧几里得、阿 基米德等大数学家的光辉驱走了中世纪的黑暗。 但是， 公理化思想推不出微积分。 牛顿和莱布尼兹是在古希 腊的"穷竭法""求抛物线弓形面积"等思想的启发下， 焕发了新的科学活力。 17-18世纪， 可以说是一个数 学力量所向披靡的时代。 尽管"无穷小"思想被贝克莱 大主教斥责为"逝去的鬼魂" ， 很不严格。 可是实践证 明了微积分算法的巨大威力。 在力学、光学、工程技 术领域获得的成功确立了微积分的划时代的历史地位。 以后的欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、傅立叶等大家的 推动， 再次推动人类文明进入了一个新阶段
3、以希尔伯特为代表的现代公理 化数学(19 20世纪中叶) 大约在19世纪中叶，非欧几何的出现，抽象群论的诞 生，特别是微积分基础的严格化过程， 使数学进入一 个新的时期 理性思维、严密证明成为数学时尚。德 国格丁根学派的代表人物D.希尔伯特，在1898年发表 儿何基础：把欧八里得的《何原本完全地严 密化。此后便一发不可荍，“形式主义和逻辑主义的思 潮点据了数学领域的主导地位。抽象和严密成为新的 时。 希尔伯特希望把数学建立在一个“相容的、 立的、完全的”公理体系之上，一一劳永逸地树立数学 的真理性，即数学真理无须实践检验， 数学可以远离 餐7农透远令 英国哲学家罗素则希望把数学归结为逻辑 于法国布尔巴基学派的巨大影响，在20世纪50- 代达到高峰。，他们梳理数学 找出基本结构， 提 倡结构主义的数学观，风靡一时。 10
10 3、以希尔伯特为代表的现代公理 化数学（19——20世纪中叶） ◼ 大约在19世纪中叶， 非欧几何的出现， 抽象群论的诞 生，特别是微积分基础的严格化过程， 使数学进入一 个新的时期。 理性思维、严密证明成为数学时尚。 德 国格丁根学派的代表人物D. 希尔伯特， 在1898年发表 《几何基础》， 把欧几里得的《几何原本》完全地严 密化。 此后便一发不可收， 形式主义和逻辑主义的思 潮占据了数学领域的主导地位。抽象和严密成为新的 时尚。 希尔伯特希望把数学建立在一个“相容的、独 立的、完全的”公理体系之上， 一劳永逸地树立数学 的真理性， 即数学真理无须实践检验， 数学可以远离 实践。英国哲学家罗素则希望把数学归结为逻辑。 尽 管他们都没有成功， 但确实在20世纪上半叶形成了公 理化、形式主义、“逻辑=数学”的思潮。 这一切， 由于法国布尔巴基学派的巨大影响， 在20世纪50-60 年代达到高峰。 他们梳理数学， 找出基本结构， 提 倡结构主义的数学观， 风靡一时