s5.2数学命题(mathematical proposition)及其数学（含有课件） [引例一】对勾股定理和射影定理等价性的研究。 在学习Rt△射影定理之后，由射影定理很容易地导出勾股定理：而现在中 学课本中采用面积方法导出勾股定理。在教学中，可提出研究性课题：能否由勾 股定理导出射影定理呢？ 学生展开激烈的辩论，一方面怀疑其可行性，另一方面又害怕是循环论证。 其实，推导并不困难，研究如下： A 如图所示 AC2=AD2+CD2 即b2-[c2-(a-x)2]+x2 得b2=c2-a2+2ar-x2+x2 ∴b2=ar即AC2=CD.CB D C (a2=b2+c2) 另一方面，由于勾股定理与射影定理是各自独立得到的，它们互推说明了命 题间的等价性。 这种形式的辨证教学使学生对数学的公理体系、等价关系有了新的认识，特 别是对基本定理的探讨极大地鼓励学生的创新意识。 [引例二】射影定理有无逆定理，为什么？ 首先，数学命题教学的重要性。 自从希尔伯特用公理化方法完成了对传统欧氏几何的改造以后，公理化的方 法己成为数学中重要方法，而且正在被其它有关科学门类所吸收，对各门自然科 学具有示范作用。 任何一门成熟的数学学科，都是由概念、公理、定理、公式等所组成严密的 逻辑关系。正是数学命题将概念联系起来，逐步形成完整的数学学科。 在中学数学教学中，教师若不引导学生掌握数学命题，学生就不可能通晓那 门学科的结构，就不可能学好那门学科。 在解决问题时，数学定理和公式起着极大的作用，可以说，每前进一步都离 不开定理和公式。 数学教学过程就是发展学生数学思维的过程。发展学生的数学思维，必须对
§5.2 数学命题(mathematical proposition)及其数学（含有课件） [引例一] 对勾股定理和射影定理等价性的研究。 在学习 Rt△射影定理之后，由射影定理很容易地导出勾股定理；而现在中 学课本中采用面积方法导出勾股定理。在教学中，可提出研究性课题：能否由勾 股定理导出射影定理呢？ 学生展开激烈的辩论，一方面怀疑其可行性，另一方面又害怕是循环论证。 其实，推导并不困难，研究如下： A 如图所示 ( ) 2 [ ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c b ax AC CD CB b c a ax x x b c a x x AC AD CD = + = = = − + − + = − − + = + 即 得 即 B D C 另一方面，由于勾股定理与射影定理是各自独立得到的，它们互推说明了命 题间的等价性。 这种形式的辨证教学使学生对数学的公理体系、等价关系有了新的认识，特 别是对基本定理的探讨极大地鼓励学生的创新意识。 [引例二] 射影定理有无逆定理，为什么？ 首先，数学命题教学的重要性。 自从希尔伯特用公理化方法完成了对传统欧氏几何的改造以后，公理化的方 法已成为数学中重要方法，而且正在被其它有关科学门类所吸收，对各门自然科 学具有示范作用。 任何一门成熟的数学学科，都是由概念、公理、定理、公式等所组成严密的 逻辑关系。正是数学命题将概念联系起来，逐步形成完整的数学学科。 在中学数学教学中，教师若不引导学生掌握数学命题，学生就不可能通晓那 门学科的结构，就不可能学好那门学科。 在解决问题时，数学定理和公式起着极大的作用，可以说，每前进一步都离 不开定理和公式。 数学教学过程就是发展学生数学思维的过程。发展学生的数学思维，必须对
学生进行严格的科学训练，这种训练必须和传授知识有机地、和谐地结合起来 而数学命题是教学正是一个很好的结构点。 由此可得出结论：有效的教学命题教学，将有助于学生牢固的学握数学知识 结构，有助于解决问题能力的提高，有助于数学思维的发展 一、数学命题(mathematical proposition)的意义和结构 1、数学命题的意义 (1)判断：对思维对象有所肯定或否定的思维形式。 逻辑上的判断，只注重形式，不管判断的内容 判断可按不同的标准进行分类： 简单判断性质判断 关系判断 「量：全称，特称（单称） 判断 「负判断 良合判断联言判断 :判断{质：肯定，否定 关系：定言，选言，假言 选言判断 假言判断 ""-AⅡ "-Existentia 例性质判断的组成： 一判断的主项（主词S),即表示判断对象的概念。用“S”表示 一判断的谓项（宾词P),即表示判断对象的性质（属性）的概念。用“P 表示。 一判断的联项（系词）。常用“是”或“不是”表示。 例“菱形(S)是平行四边形(P)” 性质判断的基本是辑结构是“所有（有的）S是（不是）P”。 这样，性质判断，又可按“质”和“量”分成以下几种： ①全称肯定判断，能常用“A”表示。 “SAP”即“所有S都是P”。 ②全称否定判断，用“E”表示。 “SEP”即“所有S都不是P”。 ③特称肯定判断，用“1”表示
学生进行严格的科学训练，这种训练必须和传授知识有机地、和谐地结合起来。 而数学命题是教学正是一个很好的结构点。 由此可得出结论：有效的教学命题教学，将有助于学生牢固的掌握数学知识 结构，有助于解决问题能力的提高，有助于数学思维的发展。 一、数学命题(mathematical proposition)的意义和结构 1、数学命题的意义 （1）判断：对思维对象有所肯定或否定的思维形式。 逻辑上的判断，只注重形式，不管判断的内容。 判断可按不同的标准进行分类： : , , . : , : , ( ) ; 关系 定言 选言 假言 质 肯定 否定 量 全称 特称 单称 判断 假言判断 选言判断 联言判断 负判断 复合判断 关系判断 性质判断 简单判断 判断 Existential All − − " " " " 例 性质判断的组成： —判断的主项（主词 S），即表示判断对象的概念。用“S”表示。 —判断的谓项（宾词 P），即表示判断对象的性质（属性）的概念。用“P” 表示。 —判断的联项（系词）。常用“是”或“不是”表示。 例 “菱形（S）是平行四边形（P）” 性质判断的基本是辑结构是“所有（有的）S 是（不是）P”。 这样，性质判断，又可按“质”和“量”分成以下几种： ①全称肯定判断，能常用“A”表示。 “SAP”即“所有 S 都是 P”。 ②全称否定判断，用“E”表示。 “SEP”即“所有 S 都不是 P”。 ③特称肯定判断，用“I”表示
“SIP”即“有S是P” ④特称否定判断，用“O”表示。 “SOP”即“有S不是p”。 (2)数学判断：(Mathematical Judgement 关于数学对象及其属性的判断。 数学判断，既研究判断的形式，也研究判断的内容，把判断的内容与形式统 一起来。如：应用题中不合题意者舍去。 常用的数学判断（假言判断）：“若p,则q”。 (3)命题（数理逻辑名词）： 命题是一个具有真假语句意义的陈述语句.（或称可判断直假）。命题的真假， 由其内容来判定。用p、q、等来代表任意的语句。 p、q、r等称语句变元。 “1”代表一个真语句取的值，“0”代表一个假语句取的值。 “1”、“0”都称语句常项。 例：“2是偶数”一真命题：“1是偶数”一假命题。 显然，一个语句或式子不一定是命题。例如： “3加4等于多少？” “圆具有什么性质？” “方程x+68”,“x是偶数”。（含有一个变数x,可真可假）。 在数理逻辑中，可真可假的句子叫做开句或命题函项，而不叫命题。 当命题函项赋值时，即成为命题。 (4)中学数学命题(Mathematical Proposition) 数学中，用来表示数学判断的语句或符号的组合称数学命题，中学数学中研 究的数学命题主要指：有关公理，定理，公式或数学题中的判断。 ·数学上，把真实性为人们所公认而又不加以证明的数学命题，称为公理 (一般要求：满足“三性”一无矛盾性、独立性、完备性) ·在数学中，根据已知概念和真命题，运用正确逻辑推理方法已经证明其真 实性的命题，叫做定理 何谓“定理((theorem)”:在数学科学体系中，根据已知概念和真命题，运用
“SIP”即“有 S 是 P”。 ④特称否定判断，用“O”表示。 “SOP”即“有 S 不是 P”。 （2）数学判断：（Mathematical Judgement） 关于数学对象及其属性的判断。 数学判断，既研究判断的形式，也研究判断的内容，把判断的内容与形式统 一起来。如：应用题中不合题意者舍去。 常用的数学判断（假言判断）：“若 p，则 q”。 （3）命题（数理逻辑名词）： 命题是一个具有真假语句意义的陈述语句。（或称可判断直假）。命题的真假， 由其内容来判定。用 p、q、r 等来代表任意的语句。 p、q、r 等称语句变元。 “1”代表一个真语句取的值，“0”代表一个假语句取的值。 “1”、“0”都称语句常项。 例： “2 是偶数”—真命题；“1 是偶数”—假命题。 显然，一个语句或式子不一定是命题。例如： “3 加 4 等于多少？” “圆具有什么性质？” “方程 x+6=8”，“x 是偶数”。（含有一个变数 x，可真可假）。 在数理逻辑中，可真可假的句子叫做开句或命题函项，而不叫命题。 当命题函项赋值时，即成为命题。 （4）中学数学命题（Mathematical Proposition） 数学中，用来表示数学判断的语句或符号的组合称数学命题，中学数学中研 究的数学命题主要指：有关公理，定理，公式或数学题中的判断。 ·数学上，把真实性为人们所公认而又不加以证明的数学命题，称为公理。 （一般要求：满足“三性”—无矛盾性、独立性、完备性） ·在数学中，根据已知概念和真命题，运用正确逻辑推理方法已经证明其真 实性的命题，叫做定理。 何谓“定理(theorem)”：在数学科学体系中，根据已知概念和真命题，运用
正确逻辑推理方法来证明其真实性的命题，叫做定理。 “系或推论”：很容易由某个定理导出的定理，称系或推论。 “公理(axiom)”:按上述定义，证明命题要有已知真命题作为根据，而所根 据的已知真命题的证明，又要根据另一些已知真命题，这样，在真命题序列中 必有某些真命题是不能从别的真命题推出的，这样的真命题，叫该科学系统中的 “公理”。 2.命题的结构 (1)命题中的变项与常项 “变项”：把命题中没有固定含义的一个代词或者未完全确定的对象，叫做 变项。 “常项”：具有固定含义的词或概念，叫做常项。 例如：命题“若p,则q”。 p、q一变项，“若”，“则”一常项。 (2)简单命题与复合命题 [命题合取式（联言命题） 常见复合命题模式命题析取式（选言命题） 命题涵式（段言命题） 命题否定式 、入、→、的结合力依次减弱。 (3)基本逻辑联词与命题演算规则（曹本P208) °.否定（非）p读作“非P” 2°.合取（与） pAq 3°.析取（或） Note:“或”有两种不同的意义。 ①不可兼“或”，用pg表示，如： “今天下午阴雨或晴天”，“我爬山或游泳”：“△ABC或是锐角△，或是R △，或是钝角△”一一排除选言支同时存在的可能。 ②可兼“或”：用pvg表示，如： “我弹琴或我唱歌”，“a大于或等于b”,“x=0或y=0
正确逻辑推理方法来证明其真实性的命题，叫做定理。 “系或推论”：很容易由某个定理导出的定理，称系或推论。 “公理(axiom)”：按上述定义，证明命题要有已知真命题作为根据，而所根 据的已知真命题的证明，又要根据另一些已知真命题，这样，在真命题序列中， 必有某些真命题是不能从别的真命题推出的，这样的真命题，叫该科学系统中的 “公理”。 2．命题的结构 （1）命题中的变项与常项 “变项”：把命题中没有固定含义的一个代词或者未完全确定的对象，叫做 变项。 “常项”：具有固定含义的词或概念，叫做常项。 例如：命题“若 p，则 q”。 p、q—变项，“若”，“则”—常项。 （2）简单命题与复合命题 命题否定式 命题涵式 段言命题 命题析取式 选言命题 命题合取式 联言命题 常见复合命题模式 （ ） （ ） （ ） 、、、→、的结合力依次减弱。 （3）基本逻辑联词与命题演算规则（曹本 P.208） 1 ．否定（非） p 读作“非 P” 2 ．合取（与） pq 3 ．析取（或） p q Note: “或”有两种不同的意义。 ①不可兼“或”，用 pq 表示，如： “今天下午阴雨或晴天”，“我爬山或游泳”；“△ABC 或是锐角△，或是 Rt △，或是钝角△”——排除选言支同时存在的可能。 ②可兼“或”：用 q 表示，如： “我弹琴或我唱歌”，“a 大于或等于 b”,“x=0 或 y=0
不可兼或真值表： 对照 可兼或真值表： q pvg p q 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 PVg为真(1)包括三种情况，其中之一就是“p真且q真”不可漏掉，即 不排除(=0且)=0即)=0的可能)。 数学上，一般讨论的析取是可兼或析取。 4°.蕴涵p→q=pvg(条件假言命题)=pAg 5.当且仅当pq(等价) (4)数学命题的表达形式 数学命题大多为蕴涵式，它用来表达某对象在一定的条件下所具有的属性， 其一般形式可表示为： 关于M,若p,则q(即关于Mp→q) 其中，作为题设的p,是蕴涵式的“前件”，作为题设的q,是蕴涵式的“后件” 不论前件和后件都是关于某对象(M)的，M又称为命题涉及的主体对象 在中学数学教材中解释为：在一定范围内，同一素材。命题的对象(M)在命题 的变换（如作逆、否、逆否命题等）中具有不变性。 例如在△ABC中，若∠A=∠B,则BC=AC: 实数a、b,若a2+b2-0,由a-0且b0: 平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它也 和这条斜线垂直。 但，也有不少数学命题的对象不是以明显的形式给出 例若x∈0，]，则y=snx是单调上升。 M-一函数“y=snx”。 例对顶角相等
不可兼或真值表： 对照 可兼或真值表： p q pq p q p q p q 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 p q 为真（1）包括三种情况，其中之一就是“p 真且 q 真”不可漏掉，即 不排除（x=0 且 y=0 即 x=y=0 的可能）。 数学上，一般讨论的析取是可兼或析取。 4 ．蕴涵 p→q≡ p q （条件假言命题）≡ p q 5 ．当且仅当 p q （等价） （4）数学命题的表达形式 数学命题大多为蕴涵式，它用来表达某对象在一定的条件下所具有的属性。 其一般形式可表示为： 关于 M，若 p，则 q （即关于 M：p → q ） 其中，作为题设的 p，是蕴涵式的“前件”，作为题设的 q，是蕴涵式的“后件” 不论前件和后件都是关于某对象（M）的，M 又称为命题涉及的主体对象。 在中学数学教材中解释为：在一定范围内，同一素材。命题的对象（M）在命题 的变换（如作逆、否、逆否命题等）中具有不变性。 例如 在△ABC 中，若∠A=∠B，则 BC=AC； 实数 a、b，若 a 2+b2=0，由 a=0 且 b=0； 平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它也 和这条斜线垂直。 但，也有不少数学命题的对象不是以明显的形式给出。 例 若 ] 2 [0, x ，则 y = sin x 是单调上升。 M—— 函数“ y = sin x ”。 例 对顶角相等