第五章数学概念、命题与问题解决教学 §5.1数学概念及其教学 一、数学概念Mathematical Concept)的意义和结构 概念是最基本的思维形式的一种，它与其他形式一判断、推理一是有密切联 系的。人们必须先具有关于某事物的概念。然后才能作出关于某事物的判断、推 理。概念是判断推理的基础。另一方面，人们通过判断、推理所获得的新认识， 又要形成新的较深刻的概念，所以概念又是判断、推理的结晶。科学史表明：“科 学是与概念并肩成长起来的”。 概念具有如此重要的作用，我们在学习和数学过程中必须十分重视对概念的 理解和掌握。 1、数学概念的意义 [引题] 师问：“等式(x+1)2=x2+2x+1是不是方程？” 生答：“不是。”“为什么？”“因为这个等式是个恒等式，不论x取什么数 等式都成立，可以这个等式不是方程。” 师问：“什么叫方程？” 生答：“含有未知数的等式叫做方程。” 师问：“等式(x+1)2=x2+2x+1含有未知数吗？” 生答：“含有未知数x,这是方程。原来我认为含有未知数的恒等式不是方 程，这是不对的。” 师问：“既然这个等式是方程，那么，这个方程有多少根？” 生答：“有无穷多解。” 师问：“对。有的方程有有限个解，例如：x+1=0只有一个解：有的方程无 解，例如：x2+1=0在实数范围内无解：有的方程有无穷多解，方程 (x+)2=x2+2x+1就是一例。” 一一以上对话是教师在引导学生明确“方程”这个概念的内涵与外延。 什么是概念的内涵和外延？先从“概念”谈起。 1
1 第五章 数学概念、命题与问题解决教学 §5.1 数学概念及其教学 一、数学概念(Mathematical Concept)的意义和结构 概念是最基本的思维形式的一种，它与其他形式—判断、推理—是有密切联 系的。人们必须先具有关于某事物的概念。然后才能作出关于某事物的判断、推 理。概念是判断推理的基础。另一方面，人们通过判断、推理所获得的新认识， 又要形成新的较深刻的概念，所以概念又是判断、推理的结晶。科学史表明：“科 学是与概念并肩成长起来的”。 概念具有如此重要的作用，我们在学习和数学过程中必须十分重视对概念的 理解和掌握。 1、数学概念的意义 [引题] 师问：“等式 ( 1) 2 1 2 2 x + = x + x + 是不是方程？” 生答：“不是。”“为什么？”“因为这个等式是个恒等式，不论 x 取什么数， 等式都成立，可以这个等式不是方程。” 师问：“什么叫方程？” 生答：“含有未知数的等式叫做方程。” 师问：“等式 ( 1) 2 1 2 2 x + = x + x + 含有未知数吗？” 生答：“含有未知数 x，这是方程。原来我认为含有未知数的恒等式不是方 程，这是不对的。” 师问：“既然这个等式是方程，那么，这个方程有多少根?” 生答：“有无穷多解。” 师问：“对。有的方程有有限个解，例如：x +1=0 只有一个解；有的方程无 解，例如 : 1 0 2 x + = 在实数范围内无解；有的方程有无穷多解，方程 ( 1) 2 1 2 2 x + = x + x + 就是一例。” ——以上对话是教师在引导学生明确“方程”这个概念的内涵与外延。 什么是概念的内涵和外延？先从“概念”谈起
(1)属性： 在客观世界中，存在着许许多多的事物，每一事物都有本身的性质和其他事 物之间存在一定的关系。事物的性质和事物之间的关系统称为事物的属性。 (2)特征： 事物和属性是不可分的，具有相同属性的事物构成一类。属性不同的事物就 形成不同的类。事物由于属性相同或不同，形成各种不同的类，就是事物的特征。 (3)本质属性： 在一类事物的许多属性中，对该事物具有决定意义的，即决该事物之所以成 为该事物并区别于其它事物的属性，统称为事物的本质属性。 例如：能思维、能制造并使产用生产工具的动物是人的本质属性。平面内到 定点的距离等于定长的点的集合，是圆的本质属性，有长度是圆的非本质属性。 (4)概念： 概念是反映事物的本质属性和特征的思维形式。 掌捏概念，实质上就是要理解一类事物的共同的本质属性。即使符号代表一类事物而不是特殊事物。 为了达到掌提概念，可以利用学习者认知结枸中原有的概念，以定义的方式直接向学习者揭示概念的 本质属性，这种使学习者获得概念的方式叫概念同化。 但是，在数学教学中，由于学生年龄因素，他们已有的认知结构简单，知识经验具体而贫乏，有时概 念同化的方式对他们学习概念是不合适的。只能从大最的具体例子出发，从他们实际经验或数学现实中 以归纳的方式抽取一类事物的共同的本质的属性，从而获得某些概念。（概念的形成一曹本P29) 所以掌握概念的典型方式是概念的形成。概念是如何形成的呢？ 人们又对客观事物的认识，一般是通过感觉、知觉形成印象（建立观念）， 在此基础上，运用比较、分析、综合、抽象、概括等方法，逐渐认识抽象出事物 的本质属性和特征，并借助词语形成反映该事物的概念。 如：自然数产生于计数。 “数”与某具体的事物联系在一起，“5一一五头羊，五个手指头”抽象出数 量的共同特征。 (5)数学概念：数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系，数学 是关于模式与秩序的科学。数学概念就是反映这些数学对象的本质属性和特征的 思维形式，在数学中，每一数学概念通常用一个特有的名称或符号来表示。 2
2 （1）属性： 在客观世界中，存在着许许多多的事物，每一事物都有本身的性质和其他事 物之间存在一定的关系。事物的性质和事物之间的关系统称为事物的属性。 （2）特征： 事物和属性是不可分的，具有相同属性的事物构成一类。属性不同的事物就 形成不同的类。事物由于属性相同或不同，形成各种不同的类，就是事物的特征。 （3）本质属性： 在一类事物的许多属性中，对该事物具有决定意义的，即决该事物之所以成 为该事物并区别于其它事物的属性，统称为事物的本质属性。 例如：能思维、能制造并使产用生产工具的动物是人的本质属性。平面内到 定点的距离等于定长的点的集合，是圆的本质属性，有长度是圆的非本质属性。 （4）概念： 概念是反映事物的本质属性和特征的思维形式。 掌握概念，实质上就是要理解一类事物的共同的本质属性。即使符号代表一类事物而不是特殊事物。 为了达到掌握概念，可以利用学习者认知结构中原有的概念，以定义的方式直接向学习者揭示概念的 本质属性，这种使学习者获得概念的方式叫概念同化。 但是，在数学教学中，由于学生年龄因素，他们已有的认知结构简单，知识经验具体而贫乏，有时概 念同化的方式对他们学习概念是不合适的。只能从大量的具体例子出发，从他们实际经验或数学现实中， 以归纳的方式抽取一类事物的共同的本质的属性，从而获得某些概念。（概念的形成—曹本 P.279） 所以掌握概念的典型方式是概念的形成。概念是如何形成的呢？ 人们又对客观事物的认识，一般是通过感觉、知觉形成印象（建立观念）， 在此基础上，运用比较、分析、综合、抽象、概括等方法，逐渐认识抽象出事物 的本质属性和特征，并借助词语形成反映该事物的概念。 如：自然数产生于计数。 “数”与某具体的事物联系在一起，“5——五头羊，五个手指头”抽象出数 量的共同特征。 （5）数学概念：数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系，数学 是关于模式与秩序的科学。数学概念就是反映这些数学对象的本质属性和特征的 思维形式，在数学中，每一数学概念通常用一个特有的名称或符号来表示
例如：“圆的概念”，反映了“平面内到定点的距离等于定长的点集”这一圆 的本质属性： ⊙0表示以0为圆心的圆： sinr表示正弦函数： “方程”的概念，反映了“含有未知数的等式”这一方程的本质属性。 数学概念的产生与发展有各种不同的途径： ①从现实模型中直接反映得来：几何中的点、线、面、体一一从物体的形状、 位置、大小关系等概括出来：自然数一一从手指数和其他单个事物排列次序抽象 出来。 ②在一些相对具体的概念上，经过多级抽象概括的过程才产生和发展而成 的：复数←一实数一实数一有理数一自然数概念。 ③人们的思维加工，把客观事物理想化、纯粹化得来：直线的“直”和“可 以无限延伸”。 ④数学内部需要产生一一诸多“规定”：任何数乘以0的积为0：又例：为 把正整幂的运算法则扩充到有理数幂、无理数幂，以至实数指数幂，在数学中， 产生了零指数，负整数指数，分数指数、无理数指数等概念。 ⑤根据理论上有存在的可能提出来的：自然数集，无穷远点，π。 ⑥在一定的数学对象的结构中产生出来，数学中许多概念，随着数学的发展 而发展成为新的概念。例如： 多边形的顶点、边、对角线、内角、外角等概念，具有公共端点的两条射线 所成的角的概念（静态）。发展成为射线绕它的端点旋转所成的角（动态）。 关于几何量角的三角函数→实数的三角函数： 总之，数学概念的产生和发展的途径是多方面的，有的数学概念的产生发展 甚至是非常复杂的（如图论中“树”、“枝”，同伦，范畴，链，鞅论，测度，流 形等等)。但，无论如何复杂，如何抽象，它们总是在一定的感性认识基础上（直 接从客观事物的空间形式或数量关系、模式或秩序反映出来)，或者在一定的理 性认识基础上产生出来并逐步发展的。 2、概念的内涵和外延一一这是概念的逻辑特征 概念的内涵和外延(Connotation and Extention of Concept),是从质和量两个方 3
3 例如：“圆的概念”，反映了“平面内到定点的距离等于定长的点集”这一圆 的本质属性； O 表示以 O 为圆心的圆； sinx 表示正弦函数； “方程”的概念，反映了“含有未知数的等式”这一方程的本质属性。 数学概念的产生与发展有各种不同的途径： ①从现实模型中直接反映得来：几何中的点、线、面、体——从物体的形状、 位置、大小关系等概括出来；自然数——从手指数和其他单个事物排列次序抽象 出来。 ②在一些相对具体的概念上，经过多级抽象概括的过程才产生和发展而成 的：复数←实数←实数←有理数←自然数概念。 ③人们的思维加工，把客观事物理想化、纯粹化得来：直线的“直”和“可 以无限延伸”。 ④数学内部需要产生——诸多“规定”：任何数乘以 0 的积为 0；又例：为 把正整幂的运算法则扩充到有理数幂、无理数幂，以至实数指数幂，在数学中， 产生了零指数，负整数指数，分数指数、无理数指数等概念。 ⑤根据理论上有存在的可能提出来的：自然数集，无穷远点，π。 ⑥在一定的数学对象的结构中产生出来，数学中许多概念，随着数学的发展 而发展成为新的概念。例如： 多边形的顶点、边、对角线、内角、外角等概念，具有公共端点的两条射线 所成的角的概念（静态）。发展成为射线绕它的端点旋转所成的角（动态）。 关于几何量角的三角函数→实数的三角函数。 总之，数学概念的产生和发展的途径是多方面的，有的数学概念的产生发展 甚至是非常复杂的（如图论中“树”、“枝”，同伦，范畴，链，鞅论，测度，流 形等等）。但，无论如何复杂，如何抽象，它们总是在一定的感性认识基础上（直 接从客观事物的空间形式或数量关系、模式或秩序反映出来），或者在一定的理 性认识基础上产生出来并逐步发展的。 2、概念的内涵和外延——这是概念的逻辑特征 概念的内涵和外延(Connotation and Extention of Concept)，是从质和量两个方
面构成概念的。 (1)内涵：是指概念所反映对象的本质属性的总和。又称内包即性质。 例如：“人”的内涵是能思维、能制造工具，并使用工具进行劳动的动物。 (2)外延：是指概念所反映对象的总和，或概念所指对象的范围。又称外 包，表达数量，可看作一个集合。 例如：“人”的外延是古今中外一切的人。 二者异同点：都是主观对客观的一种认识，它们分别与客观对象本身和客观 对象的特有属性、本质属性是有区别的。 例如：△ABC的“顶点”概念 其外延：A、B、C三点的集合，其内涵：包括点的性质和其中任一点同在 这个三角形两边上这个性质。 再例：自然数系中“偶数”概念。 其外延：2、4、6、8、.2n、.等数组成的集合： 其内涵：“能被2整除”这个性质。 (3)数学概念的外延和内涵是在一定的数学科学体系中来认识的。 例如：“角”的概念。 在平面几何中，其内涵是指具有公共端点的两条射线所组成的图形。 在平面三角中，其内涵是指一射线绕它的端点旋转而成的图形。 其外延：任意大小的正角、负角、0°角。 显见，二者的外延和内涵都是不同的。 再如：方程的“解”与不等式的“解”的概念。 “矩形与长方形”：同一概念可用不同词语表达，同一词语也可表达不同概 念。 用数学方法揭示逻辑中的概念问题，通常用集合的观点和符号来说明内涵、 外延及概念间的关系。 例：自然数中偶数的外延表示为=2n,n是自然数}· 正方形的内涵：邻边相等，内角是直角的了（平行四边形）： 其外延：所有邻边相等，内角是直角的平行四边形构成的集合 一般地，集合(x)}表示一个概念的外延时，其中，(x)就是这个概念的 4
4 面构成概念的。 （1）内涵：是指概念所反映对象的本质属性的总和。又称内包即性质。 例如：“人”的内涵是能思维、能制造工具，并使用工具进行劳动的动物。 （2）外延：是指概念所反映对象的总和，或概念所指对象的范围。又称外 包，表达数量，可看作一个集合。 例如：“人”的外延是古今中外一切的人。 二者异同点：都是主观对客观的一种认识，它们分别与客观对象本身和客观 对象的特有属性、本质属性是有区别的。 例如：△ABC 的“顶点”概念 其外延：A、B、C 三点的集合，其内涵：包括点的性质和其中任一点同在 这个三角形两边上这个性质。 再例：自然数系中“偶数”概念。 其外延：2、4、6、8、. 2n、.等数组成的集合； 其内涵：“能被 2 整除”这个性质。 （3）数学概念的外延和内涵是在一定的数学科学体系中来认识的。 例如：“角”的概念。 在平面几何中，其内涵是指具有公共端点的两条射线所组成的图形。 在平面三角中，其内涵是指一射线绕它的端点旋转而成的图形。 其外延：任意大小的正角、负角、 0 o 角。 显见，二者的外延和内涵都是不同的。 再如：方程的“解”与不等式的“解”的概念。 “矩形与长方形”：同一概念可用不同词语表达，同一词语也可表达不同概 念。 用数学方法揭示逻辑中的概念问题，通常用集合的观点和符号来说明内涵、 外延及概念间的关系。 例：自然数中偶数的外延表示为 x x = 2n, n是自然数。 正方形的内涵：邻边相等，内角是直角的 （平行四边形）； 其外延：所有邻边相等，内角是直角的平行四边形构成的集合。 一般地，集合 x(x) 表示一个概念的外延时，其中， (x) 就是这个概念的
内涵。 内涵严格限定了外延，外延完全确定了内涵。 (4)概念内涵与外延之间的关系一一互相严格地限定确定，一脉相承，又 相依而变。 “反变关系”：概念的内涵和外延是密切联系，相互制约的。如果概念A的 内涵比概念B的内涵多，那么A的外延就比B的外延小，这就是概念的内涵与 外延的反变关系。 例如：“等腰△”其内涵比“三角形”概念内涵多。而“等腰△”的外延比 “三角形”的外延小，少了那些没有两边相等的三角形。 再如：“方程”比“整式方程”的内涵少（少了“两边都是关于未知数的整 式”)：而前者比后者的外延大（多了那些两边不都是整式的方程）。 “概念的限制”：据此，把一个概念的内涵增加（扩大），得到另一个外延较 小（缩小）的概念，叫做概念的限制： “概念的概括”：把一个概念的内涵减少（缩小），得到另一个外延较大（扩 大)的概念，叫做概念的概括。 例如：在“四边形”的内涵中增加“两组对边平行”得到“平行四边形”： 在“平行四边形”的内涵中增加“有一个角是直角”，得到“矩形”。这是概念限 制。 又如：在“一元二次方程”中去掉“只含有一个未知数，且未知数的最高次 数是2”，便得到“整式方程”：在“整式方程”的内涵中去掉“两边都是关于未 知数的整式”，便得到“方程”。这就是概念的概括。 概念的限制与概念的概括的过程正相反。利用它可使我们准确地选择概念 恰如其分地表示我们所要反映的事物。概念的内涵要用定义来揭示，外延常用分 类加以明确。借助定义和分类，可以把单个的概念组成相互关联的概念体系。 二、概念间的关系(Relation between Concepts) 逻辑上所说的概念间的关系，通常是指概念外延间的同异关系。在形式逻辑 中，两个概念的外延之间。主要有以下几种关系： 1、相容关系。 如果两个概念的外延至少有一部分是重合的，则称二者具有相容关系。两外 5
5 内涵。 内涵严格限定了外延，外延完全确定了内涵。 （4）概念内涵与外延之间的关系——互相严格地限定/确定，一脉相承，又 相依而变。 “反变关系”：概念的内涵和外延是密切联系，相互制约的。如果概念 A 的 内涵比概念 B 的内涵多，那么 A 的外延就比 B 的外延小，这就是概念的内涵与 外延的反变关系。 例如：“等腰△”其内涵比“三角形”概念内涵多。而“等腰△”的外延比 “三角形”的外延小，少了那些没有两边相等的三角形。 再如：“方程”比“整式方程”的内涵少（少了“两边都是关于未知数的整 式”）；而前者比后者的外延大（多了那些两边不都是整式的方程）。 “概念的限制”：据此，把一个概念的内涵增加（扩大），得到另一个外延较 小（缩小）的概念，叫做概念的限制； “概念的概括”：把一个概念的内涵减少（缩小），得到另一个外延较大（扩 大）的概念，叫做概念的概括。 例如：在“四边形”的内涵中增加“两组对边平行”得到“平行四边形”； 在“平行四边形”的内涵中增加“有一个角是直角”，得到“矩形”。这是概念限 制。 又如：在“一元二次方程”中去掉“只含有一个未知数，且未知数的最高次 数是 2”，便得到“整式方程”；在“整式方程”的内涵中去掉“两边都是关于未 知数的整式”，便得到“方程”。这就是概念的概括。 概念的限制与概念的概括的过程正相反。利用它可使我们准确地选择概念， 恰如其分地表示我们所要反映的事物。概念的内涵要用定义来揭示，外延常用分 类加以明确。借助定义和分类，可以把单个的概念组成相互关联的概念体系。 二、概念间的关系(Relation between Concepts) 逻辑上所说的概念间的关系，通常是指概念外延间的同异关系。在形式逻辑 中，两个概念的外延之间。主要有以下几种关系： 1、相容关系。 如果两个概念的外延至少有一部分是重合的，则称二者具有相容关系。两外