§5-3数学推理及其证明 [知识结构 一、基本逻辑规律（形式思维的基本规律） 1、同一律 2、矛盾律 3、排中律 4、充足理由律 二、数学推理 推理是从一个或几个判断中得出一个新判断的思维形式。 归纳推理，完全归纳推理 (严格讲是演绎推理) 不完全归纳推理 类比推理(analog ical inf erence) 「直接推理 三段论 关系推论 推理{演绎推理 联言推诊 间接推理 选言推论 (曹本P216,217) 假言推论 摸态推论 (deductive reasoning） 拟情推理（合情推理）（补充G波利亚的工作） 三、数学证明 1、直接证法：①综合法：②分析法：③分析综合法。 2、间接证法：①同一法：②反证法（归缪法）。 3、数学归纳法与普通归纳法（曹本P224)
§5-3 数学推理及其证明 [知识结构] 一、基本逻辑规律（形式思维的基本规律） 1、同一律 2、矛盾律 3、排中律 4、充足理由律 二、数学推理 推理是从一个或几个判断中得出一个新判断的思维形式。 ( ) ( ) ( 216,217) log inf ( ) 拟情推理 合情推理 补充 波利亚的工作 （ ） 曹本 模态推论 假言推论 选言推论 联言推论 关系推论 三段论 间接推理 直接推理 演绎推理 类比推理（ ） 不完全归纳推理 完全归纳推理 严格讲是演绎推理 归纳推理 推理 G deductive reasoning P ana ical erence 三、数学证明 1、直接证法：①综合法；②分析法；③分析综合法。 2、间接证法：①同一法；②反证法（归缪法）。 3、数学归纳法与普通归纳法（曹本 P. 224）
§5-3数学推理及其证明 一、思维的基本规律 Basic Law of Thinking) 同一律、矛盾律、排中律、充足理由律 二、数学中的推理 (Mathematical inference) [引例] 例1线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等 所以，到线段两端点距离不等的点，不在这条线段的垂直平分线上 例2矩形中的对象线相等： 无限不循环小数是无理数： 正方形是矩形： π是无限不循环小数： “正方形的对角线相等。 是无理数。 1、什么是推理： 推理是从一个或几个已有的判断作出另一个新的判断的思维形式。 推理是一种重要的思维形式是探求新结果，由已知进到未知的思维方法， 2、推理的结构 前提：在推理过程中，所根据的己有判断叫做推理的前提。 结论：在推理过程中，所作出的新判断叫做推理的结论。 根据前提的数目： 只有1个为直接推理。如例1，较简单： 有2个以上为间接推理。如例2，较复杂。 NOTE:[必然性推理与或然性推理] 在逻辑里，根据推理的前提和结论之间是否具有蕴含关系，可以把推理分为 必然性推理和或然性推理。 前提蕴含结论的推理是必然性推理。 前提不蕴含结论的推理是或然性推理。 一般地，演绎推理是必然性推理的主要形式。 不完全归纳推理和类比推理是或然推理的主要形式，这两类推理往往在一些 推理中是相互渗透、相互补充、相辅助相成的： (参见《笔见二、三》p.24)
§5-3 数学推理及其证明 一、思维的基本规律 （Basic Law of Thinking） 同一律、矛盾律、排中律、充足理由律 二、数学中的推理 （Mathematical inference） [引例] 例 1 线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等。 所以，到线段两端点距离不等的点，不在这条线段的垂直平分线上。 例 2 矩形中的对象线相等； 无限不循环小数是无理数； 正方形是矩形； π是无限不循环小数； ∴正方形的对角线相等。 ∴π是无理数。 1、什么是推理： 推理是从一个或几个已有的判断作出另一个新的判断的思维形式。 推理是一种重要的思维形式是探求新结果，由已知进到未知的思维方法。 2、推理的结构 前提：在推理过程中，所根据的已有判断叫做推理的前提。 结论：在推理过程中，所作出的新判断叫做推理的结论。 根据前提的数目： 只有 1 个为直接推理。 如例 1，较简单； 有 2 个以上为间接推理。如例 2，较复杂。 NOTE：[必然性推理与或然性推理] 在逻辑里，根据推理的前提和结论之间是否具有蕴含关系，可以把推理分为 必然性推理和或然性推理。 前提蕴含结论的推理是必然性推理。 前提不蕴含结论的推理是或然性推理。 一般地，演绎推理是必然性推理的主要形式。 不完全归纳推理和类比推理是或然推理的主要形式，这两类推理往往在一些 推理中是相互渗透、相互补充、相辅助相成的。 （参见《笔见二、三》p. 24）
拉普拉斯说：“甚至在数学里，发现真理的主要工具是归纳和类比。” G·波利亚：“类比是个伟大的引路人。” 3、正确推理的要求 前提真实，运用符合形式逻辑基本规律的推理形式（即遵守推理规则），以 期得到真实的结论。 在数学中，只有做到推理合乎逻辑，才能正确地进行思维，深刻地理解系统 的知识。 4、推理的种类 归纳推理完全归纳推理（严格讲是演绎推理） 不完全归纳推理 类比推理(analog ical inf erence) 「直接推理 三段论 关系推理 推理演绎推理 向接推理联言推理 (曹本P.216,217) 选言推理 假言椎理 模态推理 (deductive reasoning) 拟情推理（合情推理，或然推理）补充G·波利亚的工作 以下合绍几种常用的间接推理： 归纳推理，演绎推理，类比推理，三段论，合情推理。 (一)归纳推理(Inductive inference) 从个别的或特殊的事物的作出的判断扩大为同类一般事物的判断的一种推 理。也即，由特殊场合的知识推出一般原理的思维方法。 例由23.25=23*5及33.35=335→a3·a5=a5(a>0) 由a3·a5=a35及a4·a3-a4+5→am·a"=amn(a>0) (这种推理在中学数学中，随处可见)
拉普拉斯说：“甚至在数学里，发现真理的主要工具是归纳和类比。” G·波利亚：“类比是个伟大的引路人。” 3、正确推理的要求 前提真实，运用符合形式逻辑基本规律的推理形式（即遵守推理规则），以 期得到真实的结论。 在数学中，只有做到推理合乎逻辑，才能正确地进行思维，深刻地理解系统 的知识。 4、推理的种类 拟情推理 合情推理 或然推理 补充 波利亚的工作 （ ） 曹本 模态推理 假言推理 选言推理 联言推理 关系推理 三段论 间接推理 直接推理 演绎推理 类比推理 不完全归纳推理 完全归纳推理 严格讲是演绎推理 归纳推理 推理 ， G deductive reasoning P ana ical erence ( ) ( .216,217) ( log inf ) ( ) 以下合绍几种常用的间接推理： 归纳推理，演绎推理，类比推理，三段论，合情推理。 （一）归纳推理（Inductive inference） 从个别的或特殊的事物的作出的判断扩大为同类一般事物的判断的一种推 理。也即，由特殊场合的知识推出一般原理的思维方法。 例 由 2 3·2 5 = 23+5 及 3 3·3 5 = 33+5 → a 3·a 5 = a3+5 (a>0) 由 a 3·a 5 = a3+5 及 a 4·a 5 = a4+5 → a m·a n = am+n (a>0) （这种推理在中学数学中，随处可见）
根据归纳推理的前提和结论所作判断的范围是否相同，可把归纳法分为完全 归纳法和不完全归纳法。 (1)完全归纳：它是研究某类事物中的每一个对象，然后概括出这类事物 的一般性结论。 如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和与结论中判断的范围完 全相同，则这种归纳推理，叫完全归纳法。 推理格式：s1具有（或不具有）p: 2具有（或不具有）p: sn具有（或不具有）p: 3具有（或不具有）p. :.A类事物具有（或不具有）p (S,32.5是A类事物所有的对象) 例证明三角形三条高线共点的定理。 分别证出锐角△，Rt△，钝角△三条高共点一任意△三高共点 其真理性如何判断： 由于完全归纳法在前提的判断中，己对结论的判断范围全部作出判断；如果 推理的前提所作判断都真的话，得出结论完全可靠一一完全归纳法可作为数学的 严格推理方法。 要点：用完全归纳法进行推理时，要注意前提的判断范围不要重复，也不要 遗漏。立即前提判断范围的总和不能小于结论判断的范围。 (2)不完全归纳性 如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断的范围，则称为不完全归 纳法。 例从具体数的运算概括出运算律，指数运算性质等推理。 其真实性如何判断：可真可假。 推理格式：s1具有（或不具）p: s2具有（或不具）p: sn具有（或不具）p:
根据归纳推理的前提和结论所作判断的范围是否相同，可把归纳法分为完全 归纳法和不完全归纳法。 （1）完全归纳：它是研究某类事物中的每一个对象，然后概括出这类事物 的一般性结论。 如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和与结论中判断的范围完 全相同，则这种归纳推理，叫完全归纳法。 推理格式：s1 具有（或不具有）p； s2 具有（或不具有）p； . sn 具有（或不具有）p； ( , ) ( ) ( ) . 1 2 是 类事物所有的对象 类事物具有 或不具有 具有 或不具有 s s s A A p s p n n 例 证明三角形三条高线共点的定理。 分别证出锐角△，Rt△，钝角△三条高共点 任意△三高共点。 其真理性如何判断： 由于完全归纳法在前提的判断中，已对结论的判断范围全部作出判断；如果 推理的前提所作判断都真的话，得出结论完全可靠——完全归纳法可作为数学的 严格推理方法。 要点：用完全归纳法进行推理时，要注意前提的判断范围不要重复，也不要 遗漏。立即前提判断范围的总和不能小于结论判断的范围。 （2）不完全归纳性 如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断的范围，则称为不完全归 纳法。 例 从具体数的运算概括出运算律，指数运算性质等推理。 其真实性如何判断：可真可假。 推理格式：s1 具有（或不具）p； s2 具有（或不具）p； . sn 具有（或不具）p；
SSS是A类事物的部份对象，在考察过程中没有遇到矛盾的估况】 ∴A类事物具有（或不具有）P (二)类比推理(Analogical inference) 类比推理是由特殊到特殊的推理。也即，由特殊场合的知识推出特殊场合知 识的思维方法。 具体讲，它是根据两个事物（或两类事物）的某些相同或相似的性质，推测 它们在别的性质上也可能相同或相似的推理形式。 例如算术和代数之间，有些性质是相类似的。 由此，可从算术中分数的基本性质和四则运算法则（类比推出）一代数中 分式的基本性质和四则运算法则 类推的形式：A类事物具有性质a、b、c、d: B类事物具有性质a、b、c: ∴.B类事物可能具有性质d 其真实性如何？并非一定为真。 例①“若a=b,则ac=bc”(真)。 类比→“若a>b,则ac心bc”(假)。 ②ab+c)与log-(x+y)或与sin(r+) ③(abr与(a+by 教学上，要防止学生乱用类比造成错误： toga(x+y)=togax+togay sin(x+y)=sin x+sin y (a+b)"=a"+b" (Deductive reasoning) (三)演绎推理(Deductive Reasoning)(与归纳推理过程相反 演绎推理是由一般到特殊的推理，亦即以某类事物的一般判断为前提作出这 类事物的个别特殊事物的判断的思维形式。 演绎推理的前提判断范围包含结论中的判断范围。演绎推理的前提和结论之 间有着必然的联系，只要前提是真的，推理合乎逻辑（规律）的，就一定能得到 正确的结论
(s1,s2.sn 是 A 类事物的部份对象，在考察过程中没有遇到矛盾的情况) ∴A 类事物具有（或不具有）p。 （二）类比推理（Analogical inference） 类比推理是由特殊到特殊的推理。也即，由特殊场合的知识推出特殊场合知 识的思维方法。 具体讲，它是根据两个事物（或两类事物）的某些相同或相似的性质，推测 它们在别的性质上也可能相同或相似的推理形式。 例如 算术和代数之间，有些性质是相类似的。 由此，可从算术中分数的基本性质和四则运算法则（类比推出） 代数中 分式的基本性质和四则运算法则 类推的形式：A 类事物具有性质 a、b、c、d； B 类事物具有性质 a、b、c； ∴B 类事物可能具有性质 d 其真实性如何？并非一定为真。 例① “若 a=b，则 ac=bc”（真）。 类比 “若 a>b，则 ac>bc”（假）。 ② a(b+c)与 loga(x+y)或与 sin(x+y) ③ (ab)n 与(a+b)n 教学上，要防止学生乱用类比造成错误： ( ) ( ) sin( ) sin sin ( ) Deductive reasoning a b a b x y x y toga x y togax togay n n n + = + + = + + = + （三）演绎推理 (Deductive Reasoning)（与归纳推理过程相反） 演绎推理是由一般到特殊的推理，亦即以某类事物的一般判断为前提作出这 类事物的个别特殊事物的判断的思维形式。 演绎推理的前提判断范围包含结论中的判断范围。演绎推理的前提和结论之 间有着必然的联系，只要前提是真的，推理合乎逻辑（规律）的，就一定能得到 正确的结论