第三专定的换元故和都积方 例2计算 sInˇ xcos d 本节 锨|解令inx=t,则dt= cos xd. 本节 目的 x=0→t=0;x=→t=1 求 本节 原式=rdt=21l_1 0 重点 0 与难 点 本节 注意使用定积分换元法,最后不必回代过 程。但必须在换元的同时积分上下限也要 作相应的变换。 后退 士页下页返回 第6页
上页 下页 返回 第 6 页 例2 计算 2 0 3 sin xcos xdx 解 令sin x = t,则dt = cos xdt. 1 2 0 0; = x = t = x = t t dt = 1 0 原式 3 1 0 4 ] 4 1 = [ t 4 1 = 注意 使用定积分换元法，最后不必回代过 程。但必须在换元的同时积分上下限也要 作相应的变换。 第三节 定积分的换元法和分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三专定的换元故和都积方 例3计算 dx.(a>0) 0 +√a--r 本节 鍬解令x= aint,d= a cos tdi, 本节 目的 x=→t=。,x=0→t=0, 求 2 本节 原式= a cos t 重点 与难 dt 点 0 asin+va(1-sin t 本节 cos t 指导 cos t-sin t d=2|1+ ldt 0 sint +cost 2 Jo sint+cos 后退 nsint+ cost 222 4 士页下页返回 第7页
上页 下页 返回 第 7 页 例3 计算 解 + − a dx a x a x 0 2 2 . ( 0) 1 令 x = asint, x = a , 2 t = x = 0 t = 0, dx = acostdt, 原式 + − = 2 0 2 2 sin (1 sin ) cos dt a t a t a t + = 2 0 sin cos cos dt t t t + − = + 2 0 sin cos cos sin 1 2 1 dt t t t t 2 0 lnsin cos 2 1 2 2 1 + + = t t . 4 = 第三节 定积分的换元法和分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三专定的换元故和都积方 例4设∫(x)在-a,上连续,证明 本节 知识 ①f(x)为偶函数,则 引入 本节 目的 ∫。f(x)dx=2f(x)x; 求 本节 ②f(x)为奇函数, 则∫。 f(e)dx=0. 重点 与难 点 证∫/(xk=(x)+(dk 在f(x)中令x=-t, 后退 第8页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 8 页 例 4 设 f (x)在[−a, a]上连续，证明 ① f (x)为偶函数，则 − = a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) ； ② f (x)为奇函数，则− = a a f (x)dx 0. 证 ( ) ( ) ( ) , 0 0 − − = + a a a a f x dx f x dx f x dx 在− 0 ( ) a f x dx中令x = −t, 第三节 定积分的换元法和分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三专定的换元故和都积方 本节 f()dx=-SfeodtSf(t)dt, 知识 引入 ①f(x)为偶函数,则f(-)=f( 目的 求 本节 ∫。f(x)dx=J。f(x)dx+f(x)d 重点 与难 点 本节 =2(dt 指导 ②f(x)为奇函数,则f(-1)=-f(t), ∫ f(x)dx=f(x)dx+lf(x)dx=0 后退 士页下页返回 第9页
上页 下页 返回 第 9 页 − = 0 ( ) a f x dx − − = 0 ( ) a f t dt ( ) , 0 − a f t dt ① f (x)为偶函数，则 f (−t) = f (t), − − = + a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ; 0 = a f t dt ② f (x)为奇函数，则 f (−t) = − f (t), − = − + a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( ) = 0. 第三节 定积分的换元法和分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三带定积的换元和分都积硫 例5计算 本节 () x'sinxdx(2)∫ 2+rcos x dr 知识 2 1-x 引入 T 本节 解(1)因为∫(x)= x sin x在对称区间[。 目的 22 上是奇函数,故[2 x8sinxdx=0 本节 重点 与难 点 (2)原式 2 l cosx dxt dx 本节 一J 指导 偶函数 奇函数 =4n 后退 -小dx=4 arcsinx=2π 第10页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 10 页 奇函数 例5 计算 解 . 1 2 cos (1) sin (2) 1 1 2 2 2 8 − − − + dx x x x x xdx （2）原式 − − = 1 1 2 1 2 dx x − − + 1 1 2 1 cos dx x x x 偶函数 − = 1 0 2 1 1 4 dx x = 2 1 0 = 4[arcsinx] f (x) x sin x 8 = 在对称区间 ] 2 2 [ − ， 上是奇函数，故 （1）因为 − = 2 2 8 x sin xdx 0 第三节 定积分的换元法和分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导