第四节 无穷小与无穷大 一、 无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
二、 无穷大 三、 无穷小与无穷大的关系 一 、无穷小 第四节 无穷小与无穷大
一、无穷小 定义1.若x→xo时，函数f(x)→0，则称函数f(x) (或x→∞) 为x→xo时的无穷小 (或x→0) 例如： lim(x-1)=0,函数x-1当x→1时为无穷小 x>1 1im=0,函数当x→o时为无穷小， x→0X lim 1- x→01-x =0,函数 一当x之-0时为无穷小
当 一、 无穷小 定义1 . 若 时, 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 (或x ) 为 时的无穷小 . 时为无穷小. (或x )
定义1，若x→x。(或x→0)时，函数f(x)→0，则 则称函数f(x)为x→x,(或x→0)时的无穷小 说明：除0以外任何很小的常数都不是无穷小 ●注1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷小和一个很小的数相混淆(0除外) 无穷小：（函数的绝对值）无限变小
说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! (或 x ) 时, 函数 则称函数 为 定义1. 若 (或 x ) 则 时的无穷小 . 注 1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷小和一个很小的数相混淆（0除外） 无穷小：（函数的绝对值）无限变小
定理1，（无穷小与函数极限的关系） Iimf(x)=A三f(x)=A+&,其中a为x→xo x→X0 时的无穷小量 证：limf(x)=A x→X0 V6>0,38>0,当0<x-xo<6时，有 f(x)-A<6 &=fx)-4 lim a=0 x→X0 对自变量的其他变化过程类似可证
其中 为 0 x x 时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) f x A x x lim ( ) 0 f ( x) A , 证: f x A x x lim ( ) 0 0 , 0 , 当 0 0 x x 时,有 f (x) A f ( x) A lim 0 0 x x 对自变量的其他变化过程类似可证
二、无穷大 定义2.若任给M>0,总存在8>0（正数X),使对 切满足不等式0<x-xo<6(x>X)的x,总有 f(x)>M ① 则称函数f(x)当x→x(x→0)时为无穷大，记作 lim f(x)=co (lim f(x)=). X->x0 r-o 若在定义中将①式改为f(x)>M(f()<-M) 则记作 lim f(x)=+oo lim f(x)=-o) x→x0 x→x0 (x-→0)】 (X>0
二、 无穷大 定义2 . 若任给 M > 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 ( lim ( ) ) ( ) 0 f x x x x ( x X ) ( x ) (lim ( ) ). x f x (正数 X ) , 记作 ( f (x) M ), 总存在