《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章 函数与极限_1-6极限存在准则 两个重要极限

第之节 极浪存在准则 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的夹逼准则 二、两个重要极限

二、 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的夹逼准则 第六节 极限存在准则 两个重要极限

1.数列极限的夹逼准则（准则I) (0)ym≤xm≤2n(n=1,2,） lim xn a (2)lim yn lim zn =a n→00 n-→0 证：由条件2)，V8>0,3N1,N2, 当n>N1时，yn-a<& 当n>N2时，2n-a <8 令N=max{N,N2),则当n>N时，有 a-8<yn<a+8,a-8<zn<a+8, 由条件(1) a-E<yn≤xn≤2n<a+e 即xm-a<6,故lim=a. n-→0

y z a n n n n     (2) lim lim 1. 数列极限的夹逼准则（准则I） (1) y  x  z ( n  1, 2 , ) n n n x a n n   lim 证:由条件 (2) ,   0 , , N1 当 时, 当 时, 令 max ,  , N  N1 N2 则当 n  N 时, 有 由条件 (1) n n n a    y  x  z  a   即 x  a   , n 故 lim x a . n n   , N2

2.函数极限存在的夹逼准则（准则'） 当x∈U(x,8)时，g(x)≤f(x)sh(x),且 (x>X>0) lim g(x)=lim h(x)=4 x→X0 x→X0 (x→0 (x→0 lim f(x)=A X→xo

2. 函数极限存在的夹逼准则（准则Iʹ） ( , ) , 当 x U x0  时   g x h x A x x x x     lim ( ) lim ( ) 0 0 g ( x)  f (x)  h( x) , f x A x x   lim ( ) 0 ( x  X  0 ) (x  ) (x  ) (x  ) 且

例1求lim( 解 n m㎡+ +++n+ 又lim lim 11-→00 vn+n n→∞ n lim =lim 由夹逼准则得 n-→0 2 n-→0 =1 lim(- 十十 =)=1 71→0 +2 n+n

例1 2 2 2 1 1 1 lim( ). 1 2 求 n n n n n         解 2 2 2 2 1 1 , 1 1 n n n n n n n n         2 1 lim lim 1 1 又 n n n n n n      1, 2 2 1 lim lim 1 1 1 n n n n n      1, 由夹逼准则得 2 2 2 1 1 1 lim( ) 1. 1 2 n n n n n        

3.单调有界准则 如果数列x满足条件 X≤X2≤Xn≤Xn≤.， 单调增加 单调数列 X1≥X2.≥Xn≥Xn+1≥， 单调减少 准则II单调有界数列必有极限： 几何解释： ●●●-●●● X1 X2 X3 XnX+1 A

3.单调有界准则 如果数列xn 满足条件 1 2 1 , n n x x x x      单调增加 1 2 1 , n n x x x x      单调减少 单调数列 几何解释: x 1 x 2 x 3 x n x n 1 x  A M 准则II 单调有界数列必有极限