第四节 第三章 离数的单调性与 曲线的凹马性 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点
第四节 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章
一、 函数单调性的判定法 定理1.设函数f(x)在开区间I内可导，若f)口0 (∫x)口O),则f(x)在I内单调递增（递减） 证：无妨设∫)☐0，x口1，任取，x2口1（口x2) 由拉格朗日中值定理得 (x2)口f(x)口fO(x2·x)口0 00(x,x2)01 故f(x)口f(x2).这说明f(x)在I内单调递增 证毕
一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 若 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 证毕
例1.确定函数f(x)口2x3口9x2☐12x口3的单调区间 解：fCc)☐6.x2▣18x☐12☐6(x☐1)(x□2) 令fCx)口0，得x□1，x☐2 (①，1)11,2)2 (2,0) f() f(x) 故f(x)的单调增区间为 f(x)的单调减区间为
例1. 确定函数 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为
说明： 1)单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点 例如，y口/x2,x口（①，口口） 2 3 y4a0 2)如果函数在某驻点两边导数同号， 则不改变函数的单调性 例如，y□x,x口（①，口口） y3x2 yoo
说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如
单调性可以用来证明不等式，零点个数 例2.试证明当x>1时，有2>3- 证明号虑的数仙-2反一学8，只要证 f(x)>0(x>1)即可 11- 当x>时，f《x)>0,因此在1，+￥]上f(x)单调增加 从而当x>时，f(x)>fI) 由于f1)=0,故f(x)>f1)>0,即 2令8ap29
单调性可以用来证明不等式，零点个数. 例2. 试证明当 时,有 . 考虑函数 ，只要证 即可. 证明