第七节 无穷闪的比轻 引例.x→0时，3x,x2,sinx都是无穷小，但 .2 limX兰 sin x =0 lim x→03x x->0 3x lim sinx =0 x→0 可见无穷小趋于0的速度是多样的
x 0 时, 3 x , x , sin x 2 都是无穷小, 第七节 引例 . x x x 3 lim 2 0 0 , 2 0 sin lim x x x , x x x 3 sin lim 0 , 3 1 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 无穷小的比较
定义.设《，B是自变量同一变化过程中的无穷小， 若1im =0，则称B是比Q高阶的无穷小，记，作 a 阝=o(a) 若lim E =o,则称B是比a低阶的无穷小： C 若lim B =C≠0，则称B是α的同阶无穷小 若lim =C≠0，则称B是关于a的k阶无穷小 若1imP=l,则称B是a的等价无穷小，记作a~B 或B~a
lim C 0, k 定义. lim 0, 若 则称 是比 高阶的无穷小, o( ) lim , 若 若 若 lim 1, 若 ~ ~ lim C 0, 或 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 是比 低阶的无穷小; 则称 是 的同阶无穷小; 则称 是关于 的 k 阶无穷小; 则称 是 的等价无穷小, 记作
例如，当x→0时 x3=0(6x2);sinxx; tan x~x arcsinxx 又如， 2 2sin lim 1-cosx 1 lim x>0 x-→0 4()1 2 故x→0时1-cosx是关于x的二阶无穷小，且 1-cosxx2
例如 , 当 o( ) ～ x 0 时 3 x 2 6x ; sin x x ; tan x ～ x arcsin x ～ x 2 0 1 cos lim x x x 2 2 0 2sin lim x x 又如 ， 2 2 4( ) x 2 1 故 时 是关于 x 的二阶无穷小, 1 cos x 2 2 1 ～ x 且
例1.证明：当x→0时，1+x-1x 证：lim /1+x-1 x>0 I x n a”-b"=(a-b)(a"-+a"-2b+.+bm-1) =lim 1+xP1分子= x→0 2x[(1+xy+(1+x)y-2++1] =1 .当x→0时，1+x-1一1x n
例1. 证明: 当 时, ～ 证: ～ n n a b (a b) 1 ( n a a b n2 ) 1 n b
例2.证明：e-1~x 证：令y=ex-l,则x=ln(1+y),且x→0时，y→0， 因此 e*-l lim=lim lim x→0 y→0n(l+y)y→01ln(1+y） 1 lim = 即有等价关系：e-I~x 说明：上述证明过程也给出了等价关系： In(1+x)~x
例2. 证明: 证: 因此 即有等价关系: 说明: 上述证明过程也给出了等价关系: