第、节 离数的连续性与间断点 一、 函数连续性的定义 二、函数的间断点
二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 第八节 函数的连续性与间断点
一、 函数连续性的定义 1.函数的增量 设函数f(x)在x的某一个邻域内有定义，x为该邻域内 一点，让△x=x-X,称为自变量在点x,的增量 y=f(x) Xo X
一、 函数连续性的定义 1. 函数的增量 0 0 0 ( ) , , , Δ . 设函数 在 的某一个邻域内有定义 为该邻域内 一点 让 x x x 称为自变量在点 的增量 f x x x x x y 0 0 x x y f x ( ) Δx
说明：1.△x是一个整体不可分割的记号， 2.△x可正可负，可大可小 3.如果让y=f(x)在x点获得一个增量△x, 则可以确定该领域内一点x=x,+△x. y=f(x)
x y 0 0 x x y f x ( ) Δx 说明： 1. Δx是一个整体不可分割的记号. 2. Δx可正可负,可大可小. 0 0 ( ) Δ Δ . 3. 如果让 在 点获得一个增量 ， 则可以确定该领域内一点 y f x x x x x x x y 0 0 x x x 0 Δ y f x ( ) Δx
当自变量x在这邻域内从x,变到x。+△x时，相应的函数值， 从f(x,)变到f(x,+△x),因此函数值或因变量f(x)的 对应增量为 △y=f(x,+△x)-f(x) 称为函数的增量， V= f(x+△x) f(xo x0xO+△x
x y 0 0 x x x 0 Δ y f x ( ) Δx 因此函数值或因变量 ( )的 对应增量为 f x ( ) 0 f x ( Δ ) 0 f x x + 0 0 0 0 Δ ( ) ( Δ ) 当自变量 在这邻域内从 变到 时，相应的函数值, 从 变到 ， x x x x f x f x x Δ 0 0 y f x x f x ( Δ ) ( ). 称为函数的增量. Δy
2.连续的定义 定义1设函数y=f(x)在点x,的某一领域内有定义，如果 lim△y=lim[f(x+△x)-f(x,)]=0, △x->0 △x0 那么就称函数y=f(x)在点x,连续， 设x=x。十△x,则当△x→0就是x→x,.又 △y=f(x+△x)-f(x)f(x)-f(x), 即 f(x)=f(xo)+△y, 可见△y→0等价于f(x)→f(x),于是
2. 连续的定义 0 0 0 Δ 0 Δ 0 ( ) lim Δ lim ( Δ ) ( ) 0, 定义1 设函数 在点 的某一领域内有定义，如果 x x y f x x y f x x f x 0 那么就称函数y f x x ( )在点 连续. 设x x x x x x 0 0 Δ ，则当Δ 0 . 就是 又 Δ 0 0 y f x x f x ( Δ ) ( ) 0 =f x f x ( ) ( ), 即 0 f x f x y ( ) ( ) Δ , Δ 0 可见 y f x f x 0 ( ) ( ) 等价于 ，于是