第十节 闭区间上连续岛数的性质 一、最大值最小值定理 二、介值定理
第十节 一、最大值最小值定理 二、介值定理 闭区间上连续函数的性质
一、】 最大值最小值定理 定义：对于在区间I上有定义的函数f(x)。 如果有x。∈I,使得对于任一x∈I都有 f(x)≤f(x (f(x)≥f(x) 则称f(x)是函数f(x)在区间I上的最大（小）值 例如，y=1+sinx,在[0,2π]上，ymax=2,ymn=0 y=二，在(0，)上，即无最大值也无最小值
一、最大值最小值定理 定义: 0 0 0 0 ( ), , ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) . 对于在区间 上有定义的函数 如果有 使得对于任一 都有 则称 是函数 在区间 上的最大 小 值 I f x x I x I f x f x f x f x f x f x I 例如, y x 1 sin , 在[0,2 ] , π 上 max y 2, min y 0; 1 y , x 在(0,1) , 上 即无最大值也无最小值
定理1.在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大 值和最小值， 即：设f(x)∈C[a,b],则351,52∈[a,b],使 f()=min f(x) v=f(x a≤x≤b f(52)=max f(x) a≤x≤b O as5 bx 注意：若函数在开区间上连续，或在闭区间内有间断 点，结论不一定成立
注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 f ( x) C [ a , b ] , 1 2 则 , [ , ] , 1 2 a b 使 ( ) min ( ) 1 f f x a x b ( ) max ( ) 2 f f x a x b 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 点 , x y a b y f ( x) O
例如，y=x,x∈(0,1) 无最大值和最小值 又如， -x+1,0≤x<1 f(x)= 1,x=1 -x+3,1<x≤2 也无最大值和最小值 2
例如, 无最大值和最小值 2 2 也无最大值和最小值 又如, x y 1 1 O x y O 1 1
推论在闭区间上连续的函数在该区间上有界 证：设f(x)∈C[a,b],由定理1可知有 M=max f(x),m=min f(x)y=f(x) x∈[a,b] xEla,b] M 故Vx∈[a,b],有m≤f(x)≤M, 因此f(x)在[a,b]上有界 m a552 bx 二、介值定理 定义：如果x,使f(x)=0,则x称为函数 f(x)的零点
1 2 m M 二、介值定理 由定理 1 可知有 max ( ) , [ , ] M f x x a b min ( ) [ , ] m f x x a b 证: 设 上有界 . 推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. b x y a y f ( x) O 定义: 0 0 0 ( ) 0, ( ) . 如果 使 则 称为函数 的零点 x f x x f x