研究性问题3: 二次型<>对称矩阵<>对角形矩阵有何关系? 以平面上以圆点为中心的二次曲线的方程 ax2+2bxy+cy2=d为例并由以下定理给出这个间 题完满的回答
研究性问题3： 二次型 对称矩阵 对角形矩阵有何关系？ 以平面上以圆点为中心的二次曲线的方程 为例并由以下定理给出这个问 题完满的回答。 ax + bxy + cy = d 2 2 2
定理8.1.4设A=(an)是数域F上一个n阶对称矩 阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P,使得 0 PAP= 0 即F上每一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩 阵合同
定理8.1.4 设 是数域F上一个n阶对称矩 阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得 即F上每一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩 阵合同。 ( ) A = aij = n c c c P AP 0 0 2 1 '
证我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定理。回忆 以下3.2里所定义的三种初等矩阵。容易看出: Pi=Pi, D(k)=D(k): T; CK)=T(k) 现在对矩阵A的阶n作数学归纳法,n)时定理显然成立 设n>1,并且假设对于n-阶对称矩阵来说定理成立 设A=(an)是一个n阶对称矩阵。如果A=Q,这时A 本身就是对角形式,设A≠0 我们分两种情形来考虑。(特殊到一般)
证 我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定理。回忆 以下3.2里所定义的三种初等矩阵。容易看出： ; ( ) ( ); ( ) ( ) ' ' ' P P D k D k T k T k i j = i j i = i i j = j i 现在对矩阵A的阶n作数学归纳法，n=1时定理显然成立。 设 n 1, 并且假设对于n-1阶对称矩阵来说，定理成立。 设 ( ) A = aij 是一个n阶对称矩阵。如果 A = 0, 本身就是对角形式，设 这时A A 0, 我们分两种情形来考虑。（特殊到一般）
(a)设A的主对角线上元素不全零。例如an≠0.如果 i≠L,那么交换A的第1列与第例,再交换第1行与第i行, 就可以把a换到左上角。这样做相当于用初等矩阵P 右乘A,再用P1=左乘A。于是PA的左上角的元素 不等于零。因此,我们不妨设a1≠0 用乘A的第1列加到第列,再用乘第1行加到 第j行,就可以把第1行第列和第j行第1列位置的元素变成 零。这样做相当于用x(。)左乘A,用T()=( 左乘A,这样,总可以选取初等矩阵EE2,…,E,使得
的左上角的元素 那么交换A的第1列与第i列，再交换第1行与第i行， (a) 设A的主对角线上元素不全零。例如 0. ii a 如果 i 1, 就可以把 ii a 换到左上角。这样做相当于用初等矩阵 P1i 右乘A，再用 Pi P1i ' 1 = 左乘A。于是 Pi AP1i ' 1 不等于零。因此，我们不妨设 11 a 0. 第j行，就可以把第1行第j列和第j行第1列位置的元素变成 用 11 1 a a j − 乘A的第1列加到第j列，再用 11 1 a a j − 乘第1行加到 零。这样做相当于用 ( ) 11 1 1 a a T j j − 左乘A，用 ( ) 11 1 1 a a T j j − ' 11 1 1 ( ) a a T j = j − 左乘A，这样，总可以选取初等矩阵 1 2 , , , , E E E s 使得
(1) 11 0 0 E.∵E,E,AE,E…E (2)这里A1是一个n阶对称矩阵,由归纳法假设 存在n-1阶可逆矩阵使得 0 21AQ,= 0
(1) (2)这里 是一个n阶对称矩阵，由归纳法假设， 存在n-1阶可逆矩阵 使得 = 0 0 0 0 1 1 1 ! 2 ' 1 ' 2 ' A a Es E E AE E Es A1 Q1 = n c c c Q A Q 0 0 3 2 1 1 ' 1