§4.5 Lebesgue可积函数的逼近 教学目的本节考虑可积函数的逼近问题.本节要证明几个关于积分的 逼近定理主要是关于 Lebesgue积分的逼近定理 教学要点 Lebesgue可积函数可以用比较简单的函数特别是用连续函数 逼近.由于连续函数具有较好的性质,因此L可积函数的逼近性质在处理有 些问题时是很有用的应通过例题和习题掌握这种方法 设给定一个测度空间(X,,4),C是可积函数类L(4)的一个子类.若对任意可积 函数∫∈L()和E>0,存在一个g∈C,使得-gd<E,则称可积函数可以用 C中的函数逼近 一般测度空间上积分的逼近 定理1设(X,,)是一个测度空间,f∈L().则对任意E>0,存在L(4)中的 简单函数g,使得∫f-g<E 证明设∫∈L().由推论31.10,存在一个简单函数列{fn},使得{n}处处收敛 于∫,并且团f川≤/,n≥1.由于∫可积因此每个f都可积注意到n≤2/并 且fn-f→>0(m→∞),利用控制收敛定理得到 im』n-fd=0 因此存在一个n,使得一/<.令g=即知定理成立■ Lebesgue积分的逼近设E是R”中的L可测集.用L(E)表示E上的 积函数的全体 定理2设E是R”上的一个 Lebesgue可测集,f∈L(E).则对任意E>0,存在 R上具有紧支集的连续函数g,使得-8<E 证明设∫∈L(E)先设设∫=l4是特征函数其中AcE并且m(4)<+0.对任 意E>0,由§2.3定理6,存在开集G和有界闭集F,使得 FCACG,使得 m(G-F)<E.由于F是有界集,因此存在半径充分大的开球U(0,r)使得
120 4.5 Lebesgue 可积函数的逼近 教学目的 本节考虑可积函数的逼近问题. 本节要证明几个关于积分的 逼近定理.主要是关于 Lebesgue 积分的逼近定理. 教学要点 Lebesgue 可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数 逼近. 由于连续函数具有较好的性质, 因此 L 可积函数的逼近性质在处理有 些问题时是很有用的.应通过例题和习题掌握这种方法. 设给定一个测度空间(X , F ,µ), C 是可积函数类 L(µ) 的一个子类. 若对任意可积 函数 f ∈ L(µ) 和ε > 0, 存在一个 g ∈C , 使得 − µ < ε, ∫ f g d 则称可积函数可以用 C 中的函数逼近. 一般测度空间上积分的逼近 定理 1 设(X , F ,µ) 是一个测度空间, f ∈ L(µ). 则对任意ε > 0, 存在 L(µ) 中的 简单函数 g, 使得 − µ < ε. ∫ f g d 证明 设 f ∈ L(µ). 由推论 3.1.10, 存在一个简单函数列{ }, n f 使得{ }n f 处处收敛 于 f , 并且 f ≤ f , n ≥ 1. n 由于 f 可积, 因此每个 n f 都可积. 注意到 f f f n − ≤ 2 并 且 f − f → 0(n → ∞), n 利用控制收敛定理得到 lim 0. ∫ − = →∞ f n f dµ n 因此存在一个 , 0 n 使得 . 0 − µ < ε ∫ f f d n 令 n0 g = f 即知定理成立. Lebesgue 积分的逼近 设 E 是 n R 中的 L 可测集. 用 L(E) 表示 E 上的 Lebesgue 可 积函数的全体. 定理 2 设 E 是 n R 上的一个 Lebesgue 可测集, f ∈ L(E). 则对任意 ε > 0, 存在 n R 上具有紧支集的连续函数 g, 使得 − < ε. ∫E f g dx 证明 设 f ∈ L(E). 先设设 A f = I 是特征函数,其中 A ⊂ E 并且m(A) < +∞. 对任 意 ε > 0, 由 2.3 定 理 6, 存在开集 G 和有界闭集 F, 使 得 F ⊂ A ⊂ G, 使 得 m(G − F) < ε . 由 于 F 是有界集 , 因此存在半径充分大的开球 U(0,r) 使 得
FcU(0,r).令B=(G∩U(0,r),则B是闭集并且F∩B=②.由§33引理3,存 在R”上的连续函数g,使得g=1,g=0.则g是R"上具有紧支集的连续函数注 意到0≤g(x)≤1,我们有 U-gdx=」-gtx+jJ-gdk ≤m(E-A)+m(A-F ≤m(G-F)<E 般情形,由定理1,存在L(E)中的简单函数g,使得』-9<设 9=∑a,l4不妨设a1≠0,则m(A4)<+∞,i=1…,k.由上面所证的结果对每个 =1…k,存在R”上具有紧支集的连续函数g,使得∫|4-g|x 令 g=∑a,g,则g是R”上具有紧支集的连续函数我们得到 「-gd=JJ-or+o-g ∑ 88 设[ab]是直线上的有界闭区间称型如f=∑a11的函数为[a]上的阶梯函数 其中J1,Jn为[a,b]的互不相交的子区间.由于阶梯函数是有界可测函数,因此每个阶梯 函数属于L[a,b] 定理3设∫∈L4,b]则对任意E>0,存在[a,b]上的一个阶梯函数g,使得 dx<a 证明设∫∈L(E).类似于定理2的证明,我们不妨设∫=lA,其中A∈[a,b并 且m(A)<+∞.由§23例3,对任意E>0,存在开集U,U是有限个开区间的并集,使 得m(dA-U)∪(-A)<E.显然我们可以设Uc(an,b),令g=LU,则g是阶梯函 数.并且 m(A-U)+m(U-a)<8
121 F ⊂ U(0,r). 令 ( (0, )) , c B = G ∩U r 则 B 是闭集并且 F ∩ B = ∅. 由 3.3 引理 3, 存 在 n R 上的连续函数 g, 使得 = 1, F g = 0. B g 则 g 是 n R 上具有紧支集的连续函数. 注 意到0 ≤ g(x) ≤ 1, 我们有 ( ) . ( ) ( ) ≤ − < ε ≤ − + − = + − = − + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − − − m G F m E A m A F g dx f dx f g dx f g dx f g dx E A A F E E A A 一般情形 , 由定理 1, 存 在 L(E) 中的简单函数 ϕ, 使 得 . 2 ε −ϕ < ∫E f dx 设 . 1 Ai k i i ∑a I = ϕ = 不妨设 ≠ 0, i a 则 ( ) < +∞, m Ai i = 1,L, k. 由上面所证的结果, 对每个 i = 1,L, k, 存在 n R 上具有紧支集的连续函数 ,i g 使得 . 2 i E A i k a I g dx i ε − < ∫ 令 , 1 ∑= = k i i i g a g 则 g 是 n R 上具有紧支集的连续函数. 我们得到 . 2 1 2 2 ε ε ε ε ϕ ϕ < + − < + = − = − + − ∑ ∫ ∫ ∫ ∫ = k i E i A i E E E a I g dx f g dx f dx g dx i 设[a,b]是直线上的有界闭区间. 称型如 i J n i i f ∑a I = = 1 的函数为[a,b]上的阶梯函数, 其中 n J ,, J 1 为[a,b]的互不相交的子区间. 由于阶梯函数是有界可测函数, 因此每个阶梯 函数属于 L[a,b]. 定理 3 设 f ∈ L[a,b]. 则对任意 ε > 0, 存在[a,b] 上的一个阶梯函数 g , 使得 − < ε. ∫ b a f g dx 证明 设 f ∈ L(E). 类似于定理 2 的证明, 我们不妨设 , A f = I 其中 A ⊂ [a,b]并 且 m(A) < +∞. 由 2.3 例 3, 对任意ε > 0,存在开集U, U 是有限个开区间的并集, 使 得 m((A −U) ∪ (U − A)) < ε.. 显然我们可以设U ⊂ (a,b), 令 , U g = I 则 g 是阶梯函 数. 并且 ( ) ( ) . ( ) ( ) = − + − < ε − ≤ − ∫ ∫ − ∪ − m A U m U A f g dx I I dx A U U A A U b a
定理4设∫∈L(R)则对任意E>0,存在R上的一个具有紧支集的阶梯函数g, 使得-gr< 证明设∫∈L(R)类似于定理2的证明,我们不妨设∫=l4,其中m(A)<+ 令A=A⌒[-k,k]k=1,2,…则A个并且A=U4.于是1mm(4)=m(A)因 此对任意E>0,存在k使得m()-m(41)<5令g=1则∈-k,k]由定 理3存在k上的阶梯函数g,使得[p-k<,延拓g的定义使得g在 k,k]上为零则g是为R上的具有紧支集的阶梯函数我们得到 「m-gks[-o+「l-gr =m(4)-m(43)+1-gk<2+2=6 下面是两个关于可积函数的逼近性质应用的例子 例1( Riemann- Lebesgue引理)设∫∈L[a,b],则 lim f(x)cos ndx=0 lim f(x)sin ndx=0 证明先设∫=la,其中(a,B)c[a,b]则 f(x)cosnxdx=f(x)cosnxdx sinB-sina→0,n→∞ 于是由积分的线性性知道对每个阶梯函数∫,(1)式成立.现在设∫∈La,b对任意 E>0.由定理3存在一个阶梯函数g,使得∫-8<,由上面证明的结果存在 N>0,使得当n>N时,g(x) cos nrc<.于是当n>N时有 f(x)cosnxdxs(f(x)-g(x)cos nxdx+ g(x) cos nxd glar+<8 因此(1)成立类似地可以证明(2)成立 例2设厂是R”上的L可积函数,则
122 定理 4 设 f ∈ ). 1 L(R 则对任意ε > 0, 存在 1 R 上的一个具有紧支集的阶梯函数 g, 使得 ∫ − < 1 . R f g dx ε 证明 设 f ∈ ). 1 L(R 类似于定理 2 的证明, 我们不妨设 , A f = I 其中 m(A) < +∞. 令 A = A ∩[−k, k], k = 1,2,L. k 则 Ak ↑ 并且 . 1 U ∞ = = k A Ak 于是 limm(A ) m(A). k k = →∞ 因 此对任意 ε > 0, 存在 0 k 使得 . 2 ( ) ( ) 0 ε m A − m Ak < 令 . 0 Ak ϕ = I 则ϕ ∈ L[−k, k]. 由定 理 3, 存在 [−k, k] 上的阶梯函数 g, 使得 . 2 ε ϕ − < ∫− k k g dx 延拓 g 的定义使得 g 在 c [−k, k] 上为零. 则 g 是为 1 R 上的具有紧支集的阶梯函数. 我们得到 . 2 2 ( ) ( ) 0 1 1 1 ε ε ε ϕ ϕ ϕ = − + − < + = − ≤ − + − ∫ ∫ ∫ ∫ − k k k m A m A g dx f g dx f dx g dx R R R 下面是两个关于可积函数的逼近性质应用的例子. 例 1 (Riemann-Lebesgue 引理)设 f ∈ L[a,b]. 则 lim ( ) cos = 0. ∫ →∞ b n a f x nxdx (1) lim ( )sin = 0. ∫ →∞ b n a f x nxdx (2) 证明 先设 (α,β ) f = I , 其中(α, β ) ⊂ [a,b]. 则 0, . sin sin ( ) cos ( ) cos → → ∞ − = = ∫ ∫ n n n n f x nxdx f x nxdx b a β α β α 于是由积分的线性性知道对每个阶梯函数 f , (1)式成立. 现在设 f ∈ L[a,b]. 对任意 ε > 0, 由定理 3, 存在一个阶梯函数 g , 使得 . 2 ε − < ∫ b a f g dx 由上面证明的结果, 存在 N > 0, 使得当 n > N 时, . 2 ( ) cos ε < ∫ b a g x nxdx 于是当 n > N 时有 .. 2 ( ) cos ( ( ) ( )) cos ( ) cos ε ε ≤ − + < ≤ − + ∫ ∫ ∫ ∫ b a b a b a b a f g dx f x nxdx f x g x nxdx g x nxdx 因此(1)成立. 类似地可以证明(2)成立. 例 2 设 f 是 n R 上的 L 可积函数, 则
「/(x+0)-/x) 证明先设∫是具有紧支集的连续函数.则存在闭球S(0,r)使得当xS(0,r)时 ∫=0.由于∫在S(O,r)上连续,因此∫在S(0,r)上一致连续.因此对任意E>0,存在 6>0,使得当x,x”∈SO.n,d(x,x”)<0时,成立(x)-f(x”)<E.记 f(x)=f(x+1).于是当d(0,0)<o时,我们有 JR V-fldrfo lf-fldx< E m(S(O, r) 这表明当∫是具有紧支集的连续函数时(3)成立.一般情形,由定理2,存在R"上的具有 紧支集的连续函数g,使得J-g女<2,由上面所证,存在6>0,使得当 d06时,pkg-gk<由41例4有 g d x 于是当d(0,1)<δ时,我们有 -f≤-gk+[-gr+f-/d 8 因此(3)成立 小结本节证明了几个关于积分的逼近定理主要是关于 Lebesgue积分的逼近定理 本节的结果表明 Lebesgue可积函数可以用比较简单的函数特别是用连续函数逼近.利用 积分的逼近定理,可以把一般可积函数的问题转化为比较容易处理的连续函数的问题例 1和例2说明了可积函数的逼近定理的典型方法 习题习题四,第40题一第42题
123 lim ( ) ( ) 0. 0 + − = → ∫ n f x t f x dx t R (3) 证明 先设 f 是具有紧支集的连续函数. 则存在闭球 S(0,r), 使得当 x ∉ S(0,r) 时 f = 0. 由于 f 在 S(0,r) 上连续, 因此 f 在 S(0,r) 上一致连续. 因此对任意ε > 0, 存在 δ > 0, 使得当 x′, x′′∈ S(0,r), d(x′, x′′) < δ 时 , 成 立 f (x′) − f (x′′) < ε. 记 f (x) f (x t). t = + 于是当 d(0,t) < δ 时, 我们有 ( (0, )). (0, ) f f dx f f dx m S r S r n t t − = − < ε ∫R ∫ 这表明当 f 是具有紧支集的连续函数时,(3)成立.一般情形, 由定理 2, 存在 n R 上的具有 紧支集的连续函数 g , 使得 ∫ − < n f g dx R . 3 ε 由上面所证, 存在 δ > 0, 使得当 d(0,t) < δ 时, ∫ − < n g g dx t R . 3 ε 由 4.1 例 4, 有 . 3 ε − = − < ∫ n ∫ n f g dx f g dx t t R R 于是当 d(0,t) < δ 时, 我们有 . 3 3 3 ε ε ε ε < + + = − ≤ − + − + − ∫ n ∫ n ∫ n ∫ n f f dx f g dx g g dx g f dx t t t t R R R R 因此(3)成立. 小 结 本节证明了几个关于积分的逼近定理.主要是关于 Lebesgue 积分的逼近定理. 本节的结果表明 Lebesgue 可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数逼近. 利用 积分的逼近定理, 可以把一般可积函数的问题转化为比较容易处理的连续函数的问题.例 1 和例 2 说明了可积函数的逼近定理的典型方法. 习 题 习题四, 第 40 题 第 42 题