第七章欧氏空间 、教学目标 熟练掌握向量的内积,夹角,长度,距离概念 2.掌握 Schwarz不等式及应用; 3.理解标准正交基的概念,求法及应用,了解子空间正 补的概念及应用; 4.理解正交变换,正交矩阵的概念、性质及关系; 5.理解对称变换的概念,性质及其与对称矩阵的关系。熟 练掌握对称矩阵化为对角阵的正交化方法。 、重点: 内积,欧氏空间,正交,标准正交组,标准正交基, 正交变换,对称变换。 难点:正交变换,对称变换 四、课时:20学时
第七章 欧氏空间 一、教学目标 1．熟练掌握向量的内积，夹角，长度，距离概念； 2．掌握Schwarz不等式及应用； 3．理解标准正交基的概念，求法及应用，了解子空间正交 补的概念及应用； 4．理解正交变换，正交矩阵的概念、性质及关系； 5．理解对称变换的概念，性质及其与对称矩阵的关系。熟 练掌握对称矩阵化为对角阵的正交化方法。 二、重点： 内积，欧氏空间，正交，标准正交组，标准正交基， 正交变换，对称变换。 三、难点：正交变换，对称变换。 四、课时： 20学时
§7.1向量的内积 定义1设V是R上一个向量空间,如果∨、n∈V 有一个确定的实数记作<5n>与它对应,并且 满足 1)<5、1>5>2)5+1,><5,5>+<5, 3)<5,4<5,>4)当2≠日时,<2,E>>0; 这里点、小是中任意向量、如∈R则<5n>叫向量 点与n的内积,而V叫做对这个内积来说的一个 欧氏空间,记作(V、<··>)
§７．１向量的内积 定义1 设V是R上一个向量空间，如果 、 V. 有一个确定的实数记作 . 与它对应，并且 满足： １） 、 =、 ; ２） + = + , , , ３） = a a , , ; ４） 当 时， , 0; 这里 、 、 是V a R 中任意向量、 , , 则 叫向量 与 的内积，而V叫做对这个内积来说的一个 欧氏空间，记作 (V、 • , • )
说明:①定义中的1)—4)称为内积公理。 ②这里把内积的符号记为<>主要是与Ⅳ3 中内积相区别,也就是说<5,7>是对实数域上 的所有向量空间通用的符号。 ③今后,谈到欧氏空间R,如无特殊情况, 它的内积为:<5,>=∑xny k=1
说明：①定义中的 1）——4）称为内积公理。 ②这里把内积的符号记为 , 主要是与 V3 中内积相区别，也就是说 , 是对实数域上 的所有向量空间通用的符号。 ③今后，谈到欧氏空间 n R ，如无特殊情况， 它的内积为： 1 , n n n k x y = =
内积的性质: (1)V5∈V,有<5,0>=0 (2)如果∈,有<5,m>035=0 特别地,若<5,5>=0→5=0 (3)V,n,δ∈V,∈R有 <26+><5,0>+<5,m>;<5,m>=<a2,> (4)V51…5r,n…n∈V;Va1…an,b1…bn∈R 有: 1〓1 ∑∑ i=1j=1
内积的性质： （1） V ，有 ，0 = 0 （2）如果 V ，有 ， = 0 = 0 特别地，若 , = 0 = 0 （3） ,, V,aR 有 , + = , + , ； ,a = a, （4） 1 r ,1 n V； a1 ar ,b1 bn R = = = = = n j r i n j i j j i j i j r i ： ai b a b 1 1 1 1 有 , ,
定义2设5∈V,则的长度引为 说明:①向量的长度是零,非零向量的长度是正数 5|=l7 ③长度是1的向量,称为单位向量。即 引=1则为单位向量 ④任一非零向量ξ,都可以化为单位向量 事实上:5≠0,则0=即为单位向量
定义2 设 V，则的长度 为： = 〈，〉 ① 向量的长度是零,非零向量的长度是正数 ② a = a ③ 长度是1的向量，称为单位向量。即 =1则 为单位向量 ④ 任一非零向量 ，都可以化为单位向量 事实上： 0,则 = 即为单位向量 说明：