§4.6乘积测度与 Fubini定理 教学目的本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理一 Fubini定理 本节要点乘积测度的构造利用了§22测度的延拓定理 Fubini定理是 积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分累次积分交换积 分顺序的定理 Fubini定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用 设X和Y是两个非空集,AcX,BcY.称AxB为XxY中的矩形(定义 A×=,×B=) 例如平面可以看成是直线与直线的乘积,即R×R=R2.当A和B是直线上的 有界区间时,AxB就是平面上的通常意义下的矩形本节在抽象空间的情形下讨论乘积 空间,但可以将RxR=R2这一特殊情形作为直观模型.通过直接验证,不难证明矩形 具有如下性质(图6-1) (1).(A1×B1)∩(A2×B2)=(A1∩A2)×(B1∩B2) (2).(A1×B1)-(A2×B2)=[(A-A2)×B1]u[(A1∩A2)×(B1-B2) B E E, A X A E1=(A1-A2)×B1E2=(A1∩A2)×(B1-B2) 图6-1 设(X,A,p)和(Y,,v)是两个测度空间.若A∈.A,B∈B,则称A×B为可测矩形 设C是可测矩形的全体所成的集类.利用上面所列的矩形的性质,容易验证C是一个半
124 4.6 乘积测度与 Fubini 定理 教学目的 本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理 Fubini 定理. 本节要点 乘积测度的构造利用了 2.2 测度的延拓定理. Fubini 定理是 积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分,累次积分交换积 分顺序的定理.Fubini 定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用. 设 X 和 Y 是两个非空集, A ⊂ X , B ⊂ Y. 称 A× B 为 X ×Y 中的矩形(定义 A×∅ = ∅, ∅ × B = ∅ ). 例如,平面可以看成是直线与直线的乘积, 即 1 R × =1 R . 2 R 当 A 和 B 是直线上的 有界区间时, A× B 就是平面上的通常意义下的矩形. 本节在抽象空间的情形下讨论乘积 空间, 但可以将 1 R × =1 R 2 R 这一特殊情形作为直观模型. 通过直接验证, 不难证明矩形 具有如下性质(图 6 1): (1).( ) ( ) ( ) ( ). A1 × B1 ∩ A2 × B2 = A1 ∩ A2 × B1 ∩ B2 (2).( ) ( ) [( ) ] [( ) ( )]. A1 × B1 − A2 × B2 = A1 − A2 × B1 ∪ A1 ∩ A2 × B1 − B2 图 6-1 设 (X , A,µ) 和 (Y, B,ν ) 是两个测度空间. 若 A∈ A, B ∈B, 则称 A× B 为可测矩形. 设C 是可测矩形的全体所成的集类. 利用上面所列的矩形的性质, 容易验证C 是一个半 ( ) ( ) 1 1 2 1 E 2= A1 ∩ A2 × B1 − B2 E = (A − A )× B X A1 64 744 4 844 A2 E1 B2 B1 Y 14 24 4 34 E2
环由C生成的σ-代数(C)称为与B的乘积a-代数,记为x 在C上定义一个非负值集函数如下.对任意AxB∈C,令 (×v)(A×B)=(A)v(B) 定理1由(1)式定义的集函数xv是C上的测度 证明显然(xv)()=0.往证Xv在C上是可数可加的.设A×B是一个可测 矩形,{ A xB}是一列互不相交的可测矩形使得AxB= UA,xB由于{4nxBn}是 互不相交的,故成立 14(x)2(y)=∑4(x)2(y) 对任意固定的y∈Y,将上式两边对x积分并利用单调收敛定理得到 (A)2(y)=∑(A1)B(y) 再对y积分得到(4)(B)=∑(A)(Bn)这就是 (uxv(Ax B)=2(uxv(A, xB,) 即yxv在C上是可数可加的因此Xv是C上的测度■ 设R是由C生成的环,即 ={4=UE,:E1,E是互不相交的可测矩形k≥1 注意由于X×Y∈,故实际上是一个代数.按下面的方式将xv延拓到上.若 E∈R,E的一个分解式为E=UA1xB,则令 (4xvE)=∑(4)v(B) 由§22引理7,(xν(AxB)的值不依赖于AxB的分解式的选取由定理1和§22 定理8立即得到如下定理 定理2由(2)式定义的集函数xv是上的测度 设(4xv)是由Xv导出的外测度,M是(4xv)可测集的全体所成的a-代
125 环. 由C 生成的σ − 代数 σ (C ) 称为 A 与B 的乘积σ -代数, 记为A ×B. 在C 上定义一个非负值集函数如下. 对任意 A× B ∈C , 令 (µ ×ν )(A× B) = µ(A)⋅ν (B). (1) 定理 1 由(1)式定义的集函数 µ ×ν 是C 上的测度. 证明 显然 (µ ×ν )(∅) = 0 . 往证 µ ×ν 在C 上是可数可加的. 设 A× B 是一个可测 矩形, { } An × Bn 是一列互不相交的可测矩形使得 . 1 U ∞ = × = × n A B An Bn 由于{ } An × Bn 是 互不相交的, 故成立 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ∑ ∞ − = n A B A B I x I y I x I y n n 对任意固定的 y ∈Y, 将上式两边对 x 积分并利用单调收敛定理得到 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = = n B n B A I y A I y n µ µ 再对 y 积分得到 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = ⋅ = ⋅ n µ A ν B µ An ν Bn 这就是 ( )( ) ( )( ). 1 ∑ ∞ = × × = × × n µ ν A B µ ν An Bn 即 µ ×ν 在C 上是可数可加的. 因此 µ ×ν 是C 上的测度. 设R 是由C 生成的环, 即 { : ,, , 1}. 1 1 = = ≥ = A E E E k k k i R U i 是互不相交的可测矩形 注意由于 X ×Y ∈ R, 故R 实际上是一个代数. 按下面的方式将 µ ×ν 延拓到R 上. 若 E∈R, E 的一个分解式为 , U 1 k i E Ai Bi = = × 则令 ( )( ) ( ) ( ). 1 ∑= × = ⋅ k i µ ν E µ Ai ν Bi (2) 由 2.2.引理 7, (µ ×ν )(A× B) 的值不依赖于 A× B 的分解式的选取. 由定理 1 和 2.2 定理 8 立即得到如下定理. 定理 2 由(2)式定义的集函数 µ ×ν 是R 上的测度. 设 ∗ (µ ×ν ) 是由 µ ×ν 导出的外测度, Mµ×ν 是 ∗ (µ ×ν ) 可测集的全体所成的σ − 代
数由§22定理5,(Xv)在上是一个测度,称这个测度为和v的乘积测度,仍 记为xv.称测度空间(X×Y,Mm,×V)为(X,,)与(X,罗,v)乘积空间.由§ 22定理10,测度空间(X×Y220x,×V)是完备的容易证明若和V都是σ-有限 的,则Xv也是G一有限的(其证明留作习题) 由第一章习题第26题的结果知道σ(C)=σ().由.A×乃的定义和§22定理5,我 们有 因此Xv也是A×罗上的测度.有时也称测度空间(X×Y,4×,Axv)为(X,A,p) 与(,,v)乘积空间 下面我们将证明 Fubini定理为此需要作一些准备 设 ECXXY,x∈X.称集Ex={y∈:(x,y)∈E}为E在x的截口.类似地,对 y∈Y,称集E,={x∈X:(x,y)∈E}为E在y的截口.注意E和E,分别是Y和X 的子集(图6-2) E E 容易验证关于截口成立 ()(UE)2=U(En) (i1).(E-F)2=E2-F 同样,关于y的截口也成立类似的性质 定理3设(X,A,p)和(Y,,v)是两个a-有限的测度空间,E∈.×.则 ()对任意x∈X,必有Ex∈ (i).v(E2)和是(X,A,p)上的可测函数.并且成立等式 (XV(E)=ME, du
126 数. 由 2.2 定理 5, ∗ (µ ×ν ) 在Mµ×ν 上是一个测度, 称这个测度为 µ 和ν 的乘积测度, 仍 记为 µ ×ν . 称测度空间 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 为 (X , A,µ) 与 (Y, B,ν ) 乘积空间. 由 2.2.定理 10, 测度空间 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 是完备的. 容易证明若 µ 和ν 都是σ − 有限 的, 则 µ ×ν 也是σ − 有限的(其证明留作习题). 由第一章习题第 26 题的结果知道σ (C ) =σ (R ). 由A ×B 的定义和 2.2定理 5, 我 们有 A ×B =σ (C ) =σ (R ) ⊂ Mµ×ν . 因此 µ ×ν 也是 A ×B 上的测度. 有时也称测度空间(X ×Y,A ×B,µ ×ν )为(X , A,µ) 与(Y, B,ν ) 乘积空间. 下面我们将证明 Fubini 定理. 为此需要作一些准备. 设 E ⊂ X ×Y, x ∈ X. 称集 E {y Y : (x, y) E} x = ∈ ∈ 为 E 在 x 的截口. 类似地, 对 y ∈Y, 称集 E {x X : (x, y) E} y = ∈ ∈ 为 E 在 y 的截口. 注意 Ex 和 Ey 分别是Y 和 X 的子集(图 6 2). 图 6 2 容易验证关于截口成立 (i). ( ) ( ) , 1 1 U U ∞ = ∞ = = n x n x n En E (ii). ( ) . E − F x = Ex − Fx 同样, 关于 y 的截口也成立类似的性质. 定理 3 设(X , A,µ) 和(Y, B,ν ) 是两个σ − 有限的测度空间, E ∈ A ×B . 则 (i).对任意 x ∈ X , 必有 ∈B. Ex ( ) ii). ( ν Ex 和是(X , A,µ) 上的可测函数. 并且成立等式 ∫ (µ ×ν )(E) = ν (E )dµ. x (3) X Y Ex Ey x y E 14 244 4 344
证明(i).设C是可测矩形的全体令 T={E∈4×B:对任意x∈X,E2∈} 若E=A×B∈C,则当x∈A时,Ex=B.当xgA时,E2=.故对任意 x∈X,E∈B.因此Cc丌.利用截口的性质容易证明J是一个-代数.因此得 到AX=(C)∈.即对任意x∈X必有Ex∈ (i)先设W(Y)<+.由本定理的结论(),对任意x∈X,必有E∈.故函数 v(Ex)有意义令 丌={E∈Ax罗:以(Ex)是.A可测的} 若E=A×B是一个可测矩形,则vE)=v(B)A(x)是4可测的这表明Cc界.往 证是一个A类.显然Xxy∈丌.设E,F∈并且E彐F.注意到 v(Fx)≤v(Y)<+∞,我们有 (E-F)2)=v(Ex-F2)=v(E)-(F) 故v(E-F)2)是A可测的因此E-F∈,即对包含差运算封闭再设 {En}∈并且En个.则(En)个.于是有 V(,=VU(E,))=limv((E,),) 由上式看出v(UEn),)是4可测的因此∪En∈丌,即对单调增加的集列的并运 算封闭.所以牙是包含C的一个λ类.注意到C是一个丌类.由§1.3推论12,我们有 A×B=a(C)c分 即对任意E∈x,(E2)是可测的若vY)=+∞.由于(Y,B,v是a一有限的 因此存在Y的一列互不相交的可测集{x}使得v(x)<+∞并且Y=∪Fn,对每个 n≥1,在上定义测度 (B)=v(B∩Y),B∈ 则v(Y)=v(X)<+0.设E∈.×B.则由上面所证,每个n≥1,vn(E)是A可测 的.我们有 E) E2∩n)=∑v(E2∩H)=∑v(E) 由此可见v(E)是可测的 在A×上定义集函数A如下
127 证明 (i).设C 是可测矩形的全体. 令 F = { ∈ A ×B : ∈ , ∈B}. X Ex E 对任意x 若 E = A× B ∈C , 则 当 x ∈ A 时 , E B. x = 当 x ∉ A 时 , = ∅. Ex 故对任意 x∈ X , ∈B. Ex 因此C ⊂ F . 利用截口的性质容易证明F 是一个σ − 代数. 因此得 到 A ×B = σ (C ) ⊂ F . 即对任意 x ∈ X 必有 ∈B. Ex (ii) 先设ν (Y) < +∞. 由本定理的结论 (i), 对任意 x ∈ X , 必有 ∈B. Ex 故函数 ( ) ν Ex 有意义. 令 F { A B : ( )是A 可测的}. = E ∈ × ν Ex 若 E = A× B 是一个可测矩形, 则 (E ) (B)I (x) ν x =ν A 是 A 可测的. 这表明C ⊂ F . 往 证 F 是一个 λ 类 . 显 然 X ×Y ∈ F . 设 E, F ∈ F 并 且 E ⊃ F. 注意到 (F ) ≤ (Y) < +∞, ν x ν 我们有 (( ) ) ( ) ( ) ( ). ν E − F x =ν Ex − Fx =ν Ex −ν Fx 故 (( ) ) ν E − F x 是 A 可测的. 因此 E − F ∈ F , 即F 对包含差运算封闭.再设 {En } ⊂ F 并且 ↑ . En 则( ) ↑ . En x 于是有 (( ) ) ( ( ) ) lim (( ) ). 1 1 n x n n x n x n ν En ν E ν E →∞ ∞ = ∞ = U = U = 由上式看出 (( ) ) 1 x n UEn ∞ = ν 是 A 可测的. 因此 ∈ ∞ = U n 1 En F , 即F 对单调增加的集列的并运 算封闭. 所以F 是包含C 的一个λ 类. 注意到C 是一个π 类. 由 1.3.推论 12, 我们有 A ×B = σ (C ) ⊂ F . 即对任意 E ∈ A ×B , ( ) ν Ex 是 A 可测的. 若ν (Y) = +∞. 由于(Y, B,ν ) 是σ − 有限的, 因此存在 Y 的一列互不相交的可测集{ } Yn 使得ν (Yn ) < +∞ 并且 . 1 U ∞ = = n Y Yn 对每个 n ≥ 1, 在B 上定义测度 ν n (B) =ν (B ∩Yn ), B ∈ B. 则 ( ) = ( ) < +∞. ν n Y ν Yn 设 E ∈ A ×B . 则由上面所证, 每个 n ≥ 1, ( ) ν n Ex 是 A 可测 的. 我们有 ( ) ( ( )) ( ) ( ). 1 1 1 ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = = ∩ = ∩ = n n x n x n n ν Ex ν U Ex Yn ν E Y ν E 由此可见 ( ) ν Ex 是 A 可测的. 在A ×B 上定义集函数λ 如下:
A(E)=v(E)d,E∈x罗 则λ是非负值集函数并且m()=0.设{En}是Ax中的一列互不相交的集.则由单 调收敛定理得到 a UEn)=v(UEn))du=VU(E,),)du ∫Σ"(En)M=∑4(E,) 即λ是可数可加的故A是4×罗上的测度.若E=A×B是一个可测矩形,则 a(E)=vE, du=MB)L(x)du=u(A)v(B)=(uxv)E) 故在C上λ=xV.测度的有限可加性蕴涵在由C生成的环上A=xV.由于和 v都是σ-有限的,容易知道λ和×v也是σ一有限的(参见习题)由§22定理6知道 在xB上A=xV.这表明对任意E∈x,(3)式成立■ 注1由定理3,我们也可以用(3)式来定义A×上的乘积测度XV,这样定义的 v与我们前面定义的上的乘积测度xV在×上是一致的.但是这样得到 的乘积测度空间(X×Y,4x,×v)一般说来不是完备的本节所用的定义乘积测度 的方式的优点是直接得到了完备的乘积测度空间(X×Y,m,xV),这样就避免了对 (X×yY,A×,Xv)再进行完备化的讨论 引理4设(X,A,p)和(Y,B,V)是两个完备的测度空间,若E∈并且 (×v)(E)=0.则对几乎所有x∈X,E∈B并且v(E2)=0ae 证明由§22定理11,存在F∈()=A×B,使得F=E并且 (4×v)(F)=(4×v)E)=0 定理3(i)蕴涵以(F2)=0ae.由于关于W是完备的,因此由E2cF得到 Ex∈B,ae.并且v(E1)=0ae 定理5设(X,,)和(Y,,v)是两个完备的-有限的测度空间,E∈.m 则 ()则对几乎所有x∈X,必有E2∈ (i).v(E2)是(X,,p)上的可测函数并且成立等式 (uXVE)=ME,)du (in)若f(x,y)是(X×Y,Mmx,xv)上的可测函数,则对几乎所有x∈X,函数 f2(y)=f(x,y)是(Y,,v)上的可测函数 证明设E∈.w由§22定理13,存在F∈x和N∈.m (×v(N)=0,使得E=F-N.由引理4,Nx∈,ae.并且v(Nx)=0ae.再利用 定理3,我们有
128 = ∈ ∫ λ(E) ν (Ex )dµ, E A ×B . 则 λ 是非负值集函数并且 m(∅) = 0. 设{ } En 是 A ×B 中的一列互不相交的集. 则由单 调收敛定理得到 (( ) ) ( ). ( ) (( ) ) ( ( ) ) 1 1 1 1 1 ∫∑ ∑ ∫ ∫ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = = = = = n n n n x n x n x n n n n E d E E E d E d ν µ λ λ U ν U µ ν U µ 即λ 是可数可加的. 故λ 是A ×B 上的测度. 若 E = A× B 是一个可测矩形, 则 (E) (E )d (B)I (x)d . (A) (B) ( )(E). λ = ν x µ = ν A µ = µ ⋅ν = µ ×ν ∫ ∫ 故在C 上λ = µ ×ν. 测度的有限可加性蕴涵在由C 生成的环R 上λ = µ ×ν. 由于 µ 和 ν 都是σ − 有限的, 容易知道λ 和 µ ×ν 也是σ − 有限的(参见习题). 由 2.2 定理 6 知道 在 A ×B 上λ = µ ×ν. 这表明对任意 E ∈ A ×B, (3)式成立. 注 1 由定理 3, 我们也可以用(3)式来定义 A ×B 上的乘积测度 µ ×ν , 这样定义的 µ ×ν 与我们前面定义的Mµ×ν 上的乘积测度 µ ×ν 在 A ×B 上是一致的. 但是这样得到 的乘积测度空间 (X ×Y,A ×B,µ ×ν ) 一般说来不是完备的. 本节所用的定义乘积测度 的方式的优点是直接得到了完备的乘积测度空间( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × , 这样就避免了对 (X ×Y,A ×B,µ ×ν )再进行完备化的讨论. 引理 4 设 (X , A,µ) 和 (Y, B,ν ) 是两个完备的测度空间, 若 E ∈Mµ×ν 并且 (µ ×ν )(E) = 0. 则对几乎所有 x ∈ X , Ex ∈B 并且 ( ) = 0 a.e., ν Ex 证明 由 2.2 定理 11, 存在 F ∈ σ (R ) = A ×B, 使得 F ⊃ E 并且 (µ ×ν )(F) = (µ ×ν )(E) = 0. 定 理 3 (ii) 蕴 涵 ( ) = 0 a.e. ν Fx 由 于 B 关 于 ν 是完备的 , 因此由 Ex ⊂ Fx 得 到 Ex ∈B, a.e.并且 ( ) = 0 a.e. ν Ex . 定理 5 设 (X , A,µ) 和 (Y, B,ν ) 是两个完备的σ − 有限的测度空间, E ∈Mµ×ν . 则 (i).则对几乎所有 x ∈ X , 必有 ∈B. Ex ( ) ii). ( ν Ex 是(X , A,µ) 上的可测函数. 并且成立等式 ∫ (µ ×ν )(E) = ν (E )dµ. x (4) (iii).若 f (x, y) 是( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 上的可测函数, 则对几乎所有 x ∈ X , 函数 f ( y) f (x, y) x = 是(Y, B,ν ) 上的可测函数. 证 明 设 E ∈Mµ×ν . 由 2.2 定 理 13, 存 在 F ∈ A ×B 和 N ∈ Mµ×ν , (µ ×ν )(N) = 0,使得 E = F − N. 由引理 4, Nx ∈ B, a.e.并且 ( ) = 0 a.e. ν Nx 再利用 定理 3, 我们有