§4.2积分的性质 教学目的本节介绍积分的一些基本性质,包括积分的线性性质,积分的 不等式性质和积分的绝对连续性等.这些性质都没有涉及到积分号下取极限 的问题,积分取极限的性质讲在下一节介绍 本节要点一般测度空间上的积分除了具有一些与经典积分类似的性质 外,还具有一些新的性质应注意比较学习本节的内容,除了应了解积分的基 本性质外,还应注意掌握一些基本的证明技巧 本节所有的讨论都是给定的测度空间(X,,p)进行的 定理1(i)若∫的积分存在,c是实数,则cf的积分存在,并且 dfdu=cl fdu (i).若f,g的积分存在,并且+」gd有意义,则∫+g的积分也存在并且 (+gdu=l fdu+gdp 特别地,若∫,g可积,则cf和∫+g也可积,并且(1)和(2)式成立 证明(i)当c≥0时,(fO)+=cf+,(cf)=cf-.由此知道cf的积分存在.由定理 41.5,我们有 I ofdu=Ic)du-(c)du=cf*- du=c fau 类似可证当C<0时(1)成立.因此(i)得证 f+g=f∫-f 因此 f 上式两边积分并利用§41定理5得到 ∫(+g)d+∫fd+」gdu=∫fd+」g'du+j(+g)(3) 由于(f+g)≤f∫+g,(f+g)≤∫-+g-,仍由§4定理5我们有 f+g)dsfd+」gtd (∫+g)du≤|fa+|gdk
104 4.2 积分的性质 教学目的 本节介绍积分的一些基本性质, 包括积分的线性性质, 积分的 不等式性质和积分的绝对连续性等. 这些性质都没有涉及到积分号下取极限 的问题, 积分取极限的性质讲在下一节介绍. 本节要点 一般测度空间上的积分,除了具有一些与经典积分类似的性质 外,还具有一些新的性质.应注意比较.学习本节的内容, 除了应了解积分的基 本性质外, 还应注意掌握一些基本的证明技巧. 本节所有的讨论都是给定的测度空间(X , F ,µ) 进行的. 定理 1 (i).若 f 的积分存在, c 是实数, 则cf 的积分存在, 并且 .. ∫ ∫ cfdµ = c fdµ (1) (ii).若 f ,g 的积分存在, 并且 ∫ ∫ fdµ + gdµ 有意义, 则 f + g 的积分也存在并且 ∫ ∫ ∫ ( f + g)dµ = fdµ + gdµ. (2) 特别地, 若 f , g 可积, 则cf 和 f + g 也可积, 并且(1)和(2)式成立. 证明 (i).当c ≥ 0 时,( ) , + + cf = cf ( ) . − − cf = cf 由此知道cf 的积分存在. 由定理 4.1.5, 我们有 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = − = − = + − + − cfdµ (cf ) dµ (cf ) dµ cf dµ cf dµ c fdµ. 类似可证当c < 0 时(1)成立. 因此(i) 得证. (ii).由于 + − + = + − ( f g) ( f g) . + − + − f + g = f − f + g − g 因此 ( ) ( ) . + − − + + − f + g + f + g = f + g + f + g 上式两边积分并利用 4.1 定理 5 得到 ( ) ( ) . _ f g dµ f dµ g dµ f dµ g dµ f g dµ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + + + = + + + + − − + + (3) 由于( ) , + + + f + g ≤ f + g ( ) , − − − f + g ≤ f + g 仍由 4.1 定理 5 我们有 ( ) , ∫ ∫ ∫ + + + f + g dµ ≤ f dµ + g dµ (4) ( ) . ∫ ∫ ∫ − − − f + g dµ ≤ f dµ + g dµ (5)
由于/如+8有意义,因此d+Jgd和厂d+8d中至少有一项是 有限的不妨设」fd+」gd<+∞.则由(5)得到」(+g)d<+o0.从(3)式两边 减去(+g)d+∫fd+Jgd得到 ∫(+g)d=∫(+g)d-j(+g)d ∫/d-「fd+∫gd-J f du+ gdp 这表明∫+g的积分存在并且(2)式成立.■ 定理2设∫在可测集E上的积分存在,则 ().f在E的任意可测子集上的积分也存在 (i).设A,B是E的可测子集并且A∩B=.则成立 fdu=fdu+L fdu 特别地,在(i)和(i)中将积分存在换成可积,结论仍成立 证明由积分的定义容易知道(i)成立.下面证明(i).由(i)知道(6)式中的积分都存 在.并且(6式右边的和式有意义由定理1得到 =∫nmdu=∫(m4+n ∫n,4+Jnad=J,+ 定理3设∫,g的积分存在,则 若f≤gae,则uss )若f=gae,则-」gd 证明由于∫≤gae,易知有∫≤g'ae,∫-≥g-ae.由§41定理s(i),我们 有∫4s」gd∫fh2gdm于是 ∫=∫fd-」 du sgd,-Jg-du=sd 因此(1)得证由(1)立即得到().■ 推论4()若∫=0ae,则对任意可测集A,有=0 (i)若(4)=0,则对任意可测函数f,有[f=0 证明()由于∫=0ae,因此对任意可测集A,4=0ae.由定理3(i)得到
105 由于 ∫ ∫ fdµ + gdµ 有意义, 因此 ∫ ∫ + + f dµ + g dµ 和 ∫ ∫ − − f dµ + g dµ 中至少有一项是 有限的.不妨设 + < +∞. ∫ ∫ − − f dµ g dµ 则由(5)得到 ( + ) < +∞. ∫ − f g dµ 从(3)式两边 减去 µ ∫ − ( f + g) d ∫ ∫ − − + f dµ + g dµ 得到 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = + = − + − + = + − + + − + − + − . ( ) ( ) ( ) µ µ µ µ µ µ µ µ µ fd gd f d f d g d g d f g d f g d f g d 这表明 f + g 的积分存在并且(2)式成立. 定理 2 设 f 在可测集 E 上的积分存在, 则 (i). f 在 E 的任意可测子集上的积分也存在. (ii).设 A,B 是 E 的可测子集并且 A ∩ B = ∅. 则成立 . ∫ ∫ ∫ = + A∪B A B fdµ fdµ fdµ (6) 特别地, 在(i) 和(ii) 中将积分存在换成可积, 结论仍成立. 证明 由积分的定义容易知道 (i) 成立. 下面证明 (ii). 由(i) 知道(6)式中的积分都存 在. 并且(6)式右边的和式有意义. 由定理 1 得到 . ( ) µ µ µ µ µ µ µ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = + = + = ∪ = + ∪ A B A B A B A B A B fI d fI d fd fd fd fI d fI fI d 定理 3 设 f ,g 的积分存在, 则 (i).若 f ≤ g a.e., 则 ∫ ∫ fdµ ≤ gdµ. (ii).若 f = g a.e., 则 ∫ ∫ fdµ = gdµ. 证明 由于 f ≤ g a.e., 易知有 a.e. + + f ≤ g , a.e. − = f ≥ g 由 4.1 定理 5 (iii), 我们 有 ∫ ∫ + + f dµ ≤ g dµ, ∫ ∫ − − f dµ ≥ g dµ.. 于是 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = − ≤ − = + − + − fdµ f dµ f dµ g dµ g dµ gdµ. 因此(i) 得证.由(i) 立即得到(ii). 推论 4 (i).若 f = 0 a.e., 则对任意可测集 A , 有 = 0. ∫A fdµ (ii).若 µ(A) = 0, 则对任意可测函数 f , 有 = 0. ∫A fdµ 证明 (i).由于 f = 0 a.e., 因此对任意可测集 A , = 0 a.e.. A fI 由定理 3 (ii) 得到
∫,d=Jmdu=0 (i)若(4)=0,则对任意可测函数f,f4=0ae.同上面一样得「,fH=0 由定理3知道,在一个零测度集上改变一个函数的函数值,不改变该函数的可积性 和积分值.因此,在讨论可测函数积分的性质的时候,可测函数所要满足的条件通常只需 要几乎处处成立就可以了 定理5设∫是可测函数则 )若厂的积分存在则Asa (i)f可积当且仅当/可积 证明()由于-1≤/s由定理3-dsj≤d这表明 (i)若∫可积则∫和厂都可积于是=f+f也可积反过来,设可积 由于∫s|f,f≤/,故∫和∫都可积从而∫=f-f也可积 将定理5应用到 Lebesgue积分上得到, f Lebesgue可积当且仅当 lEbesgue可 积但我们知道团在区间b]上 Riemann可积不能蕴涵 rIemann可积因此这是两 种积分的又一不同之处 在继续讨论积分的性质之前,先证明一个有用的不等式.这个不等式有时称为 Chebyshev不等式 引理6设∫是一个可测函数则对任意λ>0,成立 n(x:(x)24)5jd 证明由于在≥4}上,1(x)21.由定理3我们有 以(≥A)=J1≤Ln 定理7若∫是一个非负可测函数并且「f=0.,则f=0ae 证明令A={>0},An={>n,n21.则{4n}是单调增加的并且 A=UA,由引理6.05(4,)≤小=0因此A(4)=0.n≥1.由测度的下连 续性得(A)=lim(An)=0.这表明∫=0ae 定理8若∫可积,则∫几乎处处有限 证明设∫可积由定理5知道可积令
106 = = 0. ∫ ∫ fdµ fI Adµ A (ii).若 µ(A) = 0, 则对任意可测函数 f , = 0 a.e.. A fI 同上面一样得 = 0. ∫A fdµ 由定理 3 知道, 在一个零测度集上改变一个函数的函数值, 不改变该函数的可积性 和积分值. 因此, 在讨论可测函数积分的性质的时候, 可测函数所要满足的条件通常只需 要几乎处处成立就可以了. 定理 5 设 f 是可测函数. 则 (i).若 f 的积分存在, 则 fdµ f dµ. ∫ ∫ ≤ (ii). f 可积当且仅当 f 可积. 证 明 (i). 由 于 − f ≤ f ≤ f , 由定理 3, ∫ ∫∫ − f dµ ≤ fdµ ≤ f dµ . 这表明 ∫ ∫ fdµ ≤ f dµ . (ii).若 f 可积, 则 + f 和 − f 都可积. 于是 + − f = f + f 也可积. 反过来, 设 f 可积. 由于 f ≤ f , f ≤ f , + − 故 + f 和 − f 都可积. 从而 + − f = f − f 也可积. 将定理 5 应用到 Lebesgue 积分上得到, f Lebesgue 可积当且仅当 f Lebesgue 可 积. 但我们知道 f 在区间[a, b] 上 Riemann 可积不能蕴涵 f Riemann 可积. 因此这是两 种积分的又一不同之处. 在继续讨论积分的性质之前, 先证明一个有用的不等式. 这个不等式有时称为 Chebyshev 不等式. 引理 6 设 f 是一个可测函数. 则对任意λ > 0, 成立 . 1 ({ : ( ) }) ∫ ≥ ≤ µ λ µ x f x λ f d 证明 由于在{ f ≥ λ}上, ( ) 1. 1 f x ≥ λ 由定理 3, 我们有 ∫ ∫ ∫ ≥ = ≤ ≤ ≥ ≥ . 1 1 ({ }) { } { } µ λ µ λ µ λ µ λ λ f I d f d f d f f 定理 7 若 f 是一个非负可测函数并且 ∫ fdµ = 0, 则 f = 0 a.e.. 证 明 令 }, 1. 1 = { > 0}, = { > n ≥ n A f A f n 则 { } An 是单调增加的并且 . 1 U ∞ = = n A An 由引理 6, ∫ 0 ≤ µ(A ) ≤ n fdµ = 0. n 因此 (A ) = 0, n ≥ 1. µ n 由测度的下连 续性得 ( ) = lim ( ) = 0. →∞ n n µ A µ A 这表明 f = 0 a.e.. 定理 8 若 f 可积, 则 f 几乎处处有限. 证明 设 f 可积. 由定理 5 知道 f 可积.令
A==+∞,An={/≥n},n21 则{4}是单调减少的并且A=∩A由引理6得到 0≤(4)51d,n21 注意到(4)≤1d<+∞,由测度的上连续性和(得(4)=lm(A,)=0这表明 n→,∞ <+oo. ae 定理9(积分的绝对连续性)若∫可积,则对任意E>0,存在相应的d>0,使得当 (4)<6时,成立p<E 证明设∫可积则团可积设gn}是非负简单函数列使得gn个/由积分的定义 lim gndu= Jlr dp l<+∞. 于是对任意E>0存在自然数n使得05-gn如<2令M=sp8n(x)则 0<M<+.再令δ=5,则对任意可测集A,当(4)<δ时 2M SIdu=J(1-gmo )du+ gmo du<2+ Mu(a)<E 下面简要介绍一下关于复值可测函数的积分.设(X,,)为一测度空间 f(x)=f(x)+if(x)为定义在X上的复值函数.若∫的实部f和虚部f2都是可测的 实值函数,则称∫是可测的.若f的实部f和虚部2都是可积的,则称∫是可积的,并 定义∫的积分为 本节关于实值可测函数积分的性质,除去那些对复值可测函数的积分没有意义的以 外(例如定理3的(1)对复值可测函数的积分也是成立的下节将的控制收敛定理对复值 可测函数的积分也是成立的其证明只要分别考虑∫的实部和虚部就可以了详细过程从 略 小结本节介绍了一般测度空间上积分的一些基本性质一般测度空间上的积分,除 了具有一些经典积分所具有的性质,如线性性质和对被积函数的单调性等性质外还具有 一些新的特点,如积分的绝对连续性 Chebyshev不等式等另外,∫可积当且仅当可积 这个性质是与经典积分有重要差别的 习题习题四,第5题一第15题
107 A = { f = +∞}, A = { f ≥ n}, n ≥ 1. n 则{ } An 是单调减少的并且 . 1 I ∞ = = n A An 由引理 6 得到 ∫ ≤ ≤ , ≥ 1. 1 0 ( ) f d n n µ An µ (7) 注意到 ( ) , 1 ∫ µ A ≤ f dµ < +∞ 由测度的上连续性和(7)得 ( ) = lim( ) = 0. →∞ n n µ A A 这表明 f < +∞, a.e.. 定理 9 (积分的绝对连续性)若 f 可积, 则对任意ε > 0, 存在相应的δ > 0, 使得当 µ(A) < δ 时, 成立 µ < ε. ∫A f d 证明 设 f 可积, 则 f 可积.设{ } gn 是非负简单函数列使得 g f . n ↑ 由积分的定义, lim . ∫ ∫ = < +∞ →∞ gn dµ f dµ n 于是对任意 ε > 0, 存在自然数 0 n 使得 . 2 0 ( ) ∫ 0 ≤ − < ε f gn dµ 令 sup ( ), 0 M g x n x∈X = 则 0 < M < +∞ . 再令 , 2M ε δ = 则对任意可测集 A, 当 µ(A) < δ 时, ( ) . 2 ( ) 0 0 µ ε ε µ = − µ + µ < + < ∫ ∫ ∫ f d f g d g d M A A n A n A 下面简要介绍一下关于复值可测函数的积分. 设 (X , F ,µ) 为一测度空间, ( ) ( ) ( ) 1 2 f x = f x + i f x 为定义在 X 上的复值函数. 若 f 的实部 1f 和虚部 2 f 都是可测的 实值函数, 则称 f 是可测的. 若 f 的实部 1f 和虚部 2 f 都是可积的, 则称 f 是可积的, 并 定义 f 的积分为 ∫ ∫ ∫ = + . fdµ f1dµ i f 2 dµ 本节关于实值可测函数积分的性质, 除去那些对复值可测函数的积分没有意义的以 外(例如定理 3 的(i)),对复值可测函数的积分也是成立的.下节将的控制收敛定理对复值 可测函数的积分也是成立的.其证明只要分别考虑 f 的实部和虚部就可以了.详细过程从 略. 小 结 本节介绍了一般测度空间上积分的一些基本性质.一般测度空间上的积分,除 了具有一些经典积分所具有的性质, 如线性性质和对被积函数的单调性等性质外,还具有 一些新的特点, 如积分的绝对连续性,Chebyshev 不等式等.另外, f 可积当且仅当 f 可积 这个性质是与经典积分有重要差别的. 习 题 习题四, 第 5 题 第 15 题