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第五章大数定律和中心极限定理 大数定律和中心极限定理是概率论的重要基本理 平论,它们揭示了随机现象的重要统计规律,在概率 论与数理统计的理论研究和实际应用中都具有重要 的意义。本章将介绍这方面的主要内容。 上页
第五章 大数定律和中心极限定理 大数定律和中心极限定理是概率论的重要基本理 论，它们揭示了随机现象的重要统计规律，在概率 论与数理统计的理论研究和实际应用中都具有重要 的意义。本章将介绍这方面的主要内容
§5.1大数定律 迄今为止人们已发现很多大数定律( aws of large numbers 所谓大数定律,简单地说,就是大量数目的随机变量所呈现 A出的规律,这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性来刻 画。本章仅介绍几个最基本的大数定律。下面,先介绍一个 重要的不等式。 切比雪夫( Chebyshev)不等式 A对于任一随机变量X,若EX与DX均存在则对任意> 广恒有 DX P(X-EX|≥E}≤-2 (5-1) 上页
§5.1 大数定律 迄今为止,人们已发现很多大数定律(laws of large numbers) 所谓大数定律，简单地说，就是大量数目的随机变量所呈现 出的规律，这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性来刻 画。本章仅介绍几个最基本的大数定律。下面，先介绍一个 重要的不等式。 一、切比雪夫（Chebyshev）不等式 对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε＞0, 恒有 . (5-1) 2 {| | } DX P X − EX
证明我们仅给出X为连续型随机变量情形下的证明。设f(x) r"为连续型随机变量λ的密度函数,则有 P(X-EX128)=f(x)dx x-EX≥E Ix-EX f(xda +oo I f(x)dx DX 王(51)式的等价形试为 P{|X=EX|<e}>1 DX 2 (5-2) 王页下
证明 我们仅给出X为连续型随机变量情形下的证明。设 为连续型随机变量X的密度函数，则有 （5-1）式的等价形式为 . (5-2) f (x) P{| X − EX | } − = ( )d x EX f x x − − 2 2 ( )d | | x EX f x x x EX + − − 2 2 ( )d | | f x x x EX DX 2 1 = P{| X − EX | } 2 1 DX −
王切比雪夫不等式说明,D越小,则Px=EX|≥a 不越小門x-EX<以越大,也就是说,随机变量X取值 基本上集中在EX附近,这进一步说明了方差的意义。 同时当EX和D已知时,切比雪夫不等式给出了概率 王x-Ex≥e:的一个上界,该上界并不涉及随机变x 千的具体概率分布,而只与其方差D和有关,因此, 切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应 二用。需要指出的是,虽然切比雪夫不等式应用广泛, 上但在一个具体问题中,由它给出的概率上界通常比较 保守。 上页
切比雪夫不等式说明，DX越小，则 越小， 越大， 也就是说，随机变量X取值 基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。 同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率 的一个上界，该上界并不涉及随机变X 的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此， 切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应 用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛， 但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较 保守。 P{| X − EX | } P{| X − EX | } P{| X − EX | }