§53绝对连续函数与不定积分 教学目的介绍绝对连续函数概念及性质,证明联系微分与积分的牛顿 莱布尼兹公式 教学要点绝对连续函数,不定积分,牛顿-莱布尼兹公式 定义1设f(x)是定义在[a,b]上的实值函数若对任意E>0,存在δ>0,使得对 a,b上的任意有限个互不相交的开区间{(a,b)}m,当∑(b1-a1)<o时,成立 ∑f()-f(a1)<5 则称∫(x)是[a,b]上的绝对连续函数 关于绝对连续函数显然成立如下事实 ().绝对连续函数是连续函数 (i).若∫,g是绝对连续函数,a是实数则a∫和∫+g是绝对连续函数 例1设∫是[a,b]上的 Lebesgue可积函数则∫的不定积分 x)=.()h+ (其中C是任意常数)是[a,b上的绝对连续函数 证明由积分的绝对连续性(§42定理9),对任意E>0,存在δ>0,使得对[a,b]中 的任意可测集A,当m(A)<时,f()dt<E.于是对[ab]上的任意有限个互不相 交的开区间{(a,b加},当∑(b-a)<δ时,令A=U(a1,b,则 m(A)=∑(b-a)<6.于是 ∑F)-F(a)=门o= 因此F是[a,b]上的绝对连续函数 例2若∫在[ab]上满足 Lipschitz条件,则∫是[a,b]上的绝对连续函数 证明对任意E>0,令6=元(M是 Lipschitz常数)则当∑(b-a,)<6时
154 5.3 绝对连续函数与不定积分 教学目的 介绍绝对连续函数概念及性质, 证明联系微分与积分的牛顿 -莱布尼兹公式. 教学要点 绝对连续函数, 不定积分, 牛顿-莱布尼兹公式. 定义 1 设 f (x) 是定义在[a,b]上的实值函数. 若对任意ε > 0, 存在δ > 0, 使得对 [a,b]上的任意有限个互不相交的开区间{( , )} , 1 n ai bi i= 当∑ − < δ i= bi ai 1 ( ) 时, 成立 ( ) ( ) , 1 ∑ − < ε = n i i ai f b f 则称 f (x) 是[a,b]上的绝对连续函数. 关于绝对连续函数显然成立如下事实: (i). 绝对连续函数是连续函数. (ii). 若 f , g 是绝对连续函数, α 是实数. 则α f 和 f + g 是绝对连续函数. 例 1 设 f 是[a,b]上的 Lebesgue 可积函数. 则 f 的不定积分 F x f t dt C x a = + ∫ ( ) ( ) (其中C 是任意常数)是[a,b]上的绝对连续函数. 证明 由积分的绝对连续性( 4.2 定理 9), 对任意ε > 0, 存在δ > 0, 使得对[a,b]中 的任意可测集 A , 当 m(A) < δ 时, ∫ < A f (t) dt ε. 于是对[a,b]上的任意有限个互不相 交的开区间 {( , )} , 1 n i i i a b = 当 ∑ − < δ = n i bi ai 1 ( ) 时 , 令 ( , ), 1 U n i A ai bi = = 则 ( ) ( ) . 1 = ∑ − < δ = n i i i m A b a 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 1 − = ≤ = < ε ∑ ∑ ∫ ∑∫ ∫ = = = A n i b a n i b a n i i i F b F a f t dt f t dt f t dt i i i i 因此 F 是[a,b]上的绝对连续函数. 例 2 若 f 在[a,b]上满足 Lipschitz 条件, 则 f 是[a,b]上的绝对连续函数. 证明 对任意ε > 0, 令 M ε δ = ( M 是 Lipschitz 常数). 则当∑ − < δ = n i bi ai 1 ( ) 时
∑/()-f(a,)≤M∑(b-a)<E 故∫是[a,b]上的绝对连续函数■ 定理2绝对连续函数是有界变差函数 证明设∫是[a,b]上的绝对连续函数则对E=1,存在δ>0,使得对[a,b]上的任 意有限个互不相交的开区间{(a,b)m,当∑(b-a1)<δ时,成立 ∑ f(b)-f(a)<1.取自然数k使b-a∠6.设a=x…<xn=b是[a,b]的 个分割,它将区间[a,b分成k等分.对[x1,x]任一分割x1=10<…<m=x1,由 于∑(1-1-)=x1-x1<,因此 V(o;…,mn)=∑f(1)-f(a)≤1 于是V(∫)≤1,=1,…,k.利用§52定理2,得到 ()=∑(≤k =x-1 因此∫是[a,b]上的有界变差函数定理证毕 推论3设∫是[a,b]上的绝对连续函数则∫在[a,b]上几乎处处可导,并且厂'是 Lebesgue可积的 证明利用推论4即知推论成立 定理4若∫是[a,b]上的绝对连续函数,则∫的变差函数V()也是绝对连续的 证明设∫是[a,b]上的绝对连续函数由定理2,f是[a,b上的有界变差函数因 此函数V()有意义对任意E>0,设是绝对连续函数定义中相应的正数现在设 {(a,b)是b]上的互不相交的开区间使得∑(b-a1)<.对每个=1…,n,设 x0)<x)<…<x(=b 是(an,b)的任一分割则{(x1,x)j=1…k,=1…,m是[ab]上的限个互不相
155 ( ) ( ) ( ) . 1 1 ∑ − ≤ ∑ − < ε = = n i i i n i f bi f ai M b a 故 f 是[a,b]上的绝对连续函数. 定理 2 绝对连续函数是有界变差函数. 证明 设 f 是[a,b]上的绝对连续函数. 则对ε = 1, 存在δ > 0, 使得对[a,b]上的任 意有限个互不相交的开区间 {( , )} , 1 n i i i a b = 当 ∑ − < δ = n i bi ai 1 ( ) 时 , 成 立 ( ) ( ) 1. 1 ∑ − < = n i i ai f b f 取自然数 k 使得 < δ . − k b a 设 a x x b = 0 <L< n = 是[a,b] 的 一个分割, 它将区间[a,b]分成 k 等分. 对[ , ] i 1 i x x − 任一分割 , i 1 0 m i x = t < < t = x − L 由 于 ( ) , 1 1 − 1 = − − < δ = ∑ − i i m i i i t t x x 因此 ( , , ) ( ) ( ) 1. 1 0 = ∑ − 1 ≤ = − m i f m i i V t L t f t f f 于是 ( ) 1, 1, , . 1 V f i k i i x x ≤ = L − 利用 5.2 定理 2, 得到 ( ) ( ) . 1 1 V f V f k k i x x b a i i = ∑ ≤ = − 因此 f 是[a,b]上的有界变差函数. 定理证毕. 推论 3 设 f 是[a,b]上的绝对连续函数. 则 f 在[a,b]上几乎处处可导, 并且 f ′ 是 Lebesgue 可积的. 证明 利用推论 4 即知推论成立. 定理 4 若 f 是[a,b]上的绝对连续函数, 则 f 的变差函数V ( f ) x a 也是绝对连续的. 证明 设 f 是[a,b]上的绝对连续函数. 由定理 2, f 是[a,b]上的有界变差函数. 因 此函数V ( f ) x a 有意义. 对任意 ε > 0, 设δ 是绝对连续函数定义中相应的正数. 现在设 n i i i a b 1 {( , )} = 是[a,b]上的互不相交的开区间使得 ∑ − < δ = n i bi ai 1 ( ) . 对每个i = 1,L,n, 设 i i k i i i a x x x b i = < < < = ( ) ( ) 1 ( ) 0 L 是 ( , ) i i a b 的任一分割. 则{( , ), 1, , , 1, , } 1 x x j k i n i i j i j − = L = L 是[a,b] 上的限个互不相
交的开区间,并且这些小区间的长度之和 ∑∑(x-x)=∑(b-a1)< 由∫的绝对连续性得到 <E 对(a1,b)(i=1,…,n.)的所有分割取上确界得到 b 这表明V(是[a,b]上的绝对连续函数■ 定理5设∫是[a,b]上的 Lebesgue可积函数.则∫的不定积分 x)= 在[a,b]上几乎处处可导并且F(x)=f(x)ae 证明由例1知道F(x)是[a,b]上的绝对连续函数.因而由推论3知道F(x)在 a,b]上几乎处处可导.往证F(x)=f(x)ae先证明若是[a,b上的 Lebesgue可积 函数,则成立 ) slo(x)dx 事实上由于,9(O)m和o()都是单调增加的函数,51定理5我们有 广(o0)aso( p"(odt dxs o (x)dx 因此 o* (dx+o(x)dx=o(x)d
156 交的开区间, 并且这些小区间的长度之和 ( ) ( ) . 1 1 1 ( ) 1 ( ) ∑ ∑ ∑ − = − < δ = = = − n i n i i i k j i j i j x x b a i 由 f 的绝对连续性得到 ( , , ) ( ) ( ) . 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 0 ∑ = ∑∑ − < ε = = − = n i n j i j i j n i i n i i f i i V x x Lx f x f x 对( , ) i i a b (i = 1,L, n.)的所有分割取上确界得到 ( ) ( ) ( ) . 1 1 ∑ − = ∑ ≤ ε = = n i b a n i a a b a V f V f V f i i i i 这表明V ( f ) x a 是[a,b]上的绝对连续函数. 定理 5 设 f 是[a,b]上的 Lebesgue 可积函数. 则 f 的不定积分 F x f t dt C x a = + ∫ ( ) ( ) 在[a,b]上几乎处处可导并且 F′(x) = f (x) a.e.. 证明 由例 1 知道 F(x) 是[a,b] 上的绝对连续函数. 因而由推论 3 知道 F(x) 在 [a,b]上几乎处处可导. 往证 F′(x) = f (x) a.e..先证明若ϕ 是[a,b]上的 Lebesgue 可积 函数, 则成立 ( ) ( ) . ∫ ∫ ∫ ≤ ′ b a b a x a ϕ t dt dx ϕ x dx (1) 事实上, 由于 ∫ + x a ϕ (t)dt 和 ∫ − x a ϕ (t)dt 都是单调增加的函数, 5.1 定理 5, 我们有 ( ) ( ) . ∫ ∫ ∫ + + ≤ ′ b a b a x a ϕ t dt dx ϕ x dx ( ) ( ) . ∫ ∫ ∫ − − ≤ ′ b a b a x a ϕ t dt dx ϕ x dx 因此 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ≤ + = ′ + ′ ≤ ′ + − + −+ b a b a b a b a x a b a x a b a x a x dx x dx x dx t dt dx t dt dx t dt dx ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
即(1)成立,由§45定理2,对任意E>0,存在[a,b]上的一个连续函数g,使得 -g<6由数学分析中熟知的定理知u(Cgo)g8)对函数/-g应用 (2)式,我们有 ((0)-g())+g(x)-f(x) 00+w0) If(x)-g(x 由E>0的任意性我们得到 f(1)dn-f(x)=0.因此 f()d-f(x)=0ae.此即F(x)=∫(x) 定理6设∫是[a,b]上的绝对连续函数,并且在[a,b上f(x)=0ae.则∫在 b]上恒为常数 证明先证明∫(a)=∫(b).对任意E>0,存在δ>0,使得对[a,b]上的任意有限 个互不相交的开区间{a,b),当∑(b-a)<6时,成立 ∑f()-f(a,)< 设E0={x∈[a,b]:f(x)=0},E=[a,b]-E0,则mE=0.对于上面的,由§23 定理6()存在开集G→E,使得mG<δ.由直线使开集的构造定理,存在一列开区间 (a,b)},使得G=U(an,b) 另一方面,由于当[a,b]-G∈E0,故对任意y∈[a,b]-G,f(y)=0.于是存在 相应的h>0,使得当y’∈(y-h,y+h)时
157 即(1)成立. 由 4.5 定理 2, 对任意 ε > 0, 存在 [a,b] 上的一个连续函数 g , 使得 − < ε. ∫ b a f g dt 由数学分析中熟知的定理知道 g(t)dt g(x). x a = ′ ∫ 对函数 f − g 应用 (2)式, 我们有 2 ( ) ( ) 2 . ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ≤ − < ε + − ′ ≤ − + − ′ = − − ′ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b a b a b a x a b a x a b a x a f x g x dx f t g t dt dx g x f x dx f t g t dt g x f x dx f t dt f x dx 由 ε > 0 的任意性我们得到 ( ) − ( ) = 0. ′ ∫ ∫ b a x a f t dt f x dx 因 此 ( ) − ( ) = 0 a.e.. ′ ∫ f t dt f x x a 此即 F′(x) = f (x) a.e.. . 定理 6 设 f 是[a,b] 上的绝对连续函数, 并且在 [a,b] 上 f ′(x) = 0 a.e. 则 f 在 [a,b]上恒为常数. 证明 先证明 f (a) = f (b). 对任意ε > 0, 存在δ > 0, 使得对[a,b]上的任意有限 个互不相交的开区间{( , )} , 1 n i i i a b = 当∑ − < δ = n i bi ai 1 ( ) 时, 成立 ( ) ( ) . 1 ∑ − < ε = n i i ai f b f 设 { [ , ]: ( ) 0}, E0 = x ∈ a b f ′ x = [ , ] , E0 E = a b − 则 mE = 0. 对于上面的 δ , 由 2.3 定理 6(i), 存在开集 G ⊃ E, 使得 mG < δ . 由直线使开集的构造定理, 存在一列开区间 {( , )}, i i a b 使得 U i i i G = (a ,b ). 另一方面, 由于当[ , ] , G E0 a b − ⊂ 故对任意 y ∈[a,b] − G, f ′( y) = 0. 于是存在 相应的 h > 0, 使得当 y′∈ ( y − h, y + h)时
(y)-f()<y-y 这样开区间族{(a1,b)}∪{(y-h,y+h),y∈[a,b]-G}构成了[a,b]的一个开覆盖由 有限覆盖定理,可以从中选出有限个区间,不放设为 (a1,b1)…,(ak,bk),(y1-h1,y1+h)…(y-h1,y1+h) 仍然覆盖[a,b]我们可以在点a1,b,…,ak,b,y1,…,y之外再加上一些分点,构成 [a,b]的一个分点组 b 使得对任何给定的小区间(x-1,x,),不外乎出现以下两种情况 (1)对某个j,(x-1,x)∈(a,b) (2)对某个,(x-,x)C(y-h,y)或(x1,x)c(y,y+h) 于是我们有 0≤f(b)-fa)≤∑fx)-f(x-) ≤∑f(x,)-f(x-)+∑1(x)-f(x-1) x-x-|≤E+6(b-a 其中∑表示对出现情况(1)的(x-,x)求和,∑表示对出现情况(2)的(x1,x)求 和由E>0的任意性得到∫(a)=f(b)对任意x∈[a,b],用[{a,x代替{a,b],同样可 以得到∫(x)=f(a).因此∫在[a,b上恒为常数■ 定理7(微积分基本定理)设∫(x)是定义在[a,b上的实值函数.则成立牛顿-莱布尼 兹公式 f(x)-f(a=Lf'(dt, xE[a, b 的充要条件是f(x)是绝对连续函数 证明由例1即知必要性成立.往证充分性.设∫(x)是绝对连续的.由推论3,∫在 [a,b]上几乎处处可导,并且厂是 Lebesgue可积的.令 p(x)=f(x)-/'(dt,xe[a,b 由定理5知道,在[a,b上φ(x)=0ae.根据定理6,(x)在[a,b]使恒为常数.因此
158 f ( y′) − f ( y) < ε y′ − y . 这样开区间族{(a ,b )} {( y h, y h), y [a,b] G} i i ∪ − + ∈ − 构成了[a,b]的一个开覆盖. 由 有限覆盖定理, 可以从中选出有限个区间, 不放设为 ( , ), ,( , ), 1 1 k k a b L a b ( , ), ,( , ) 1 1 1 1 l l l l y − h y + h L y − h y + h 仍然覆盖[a,b]. 我们可以在点 k k l a , b , , a , b , y , , y 1 1 L 1 L 之外再加上一些分点, 构成 [a,b]的一个分点组 , 0 1 a x x x b = < < L < n = 使得对任何给定的小区间( , ) i 1 i x x − , 不外乎出现以下两种情况: (1). 对某个 j, ( , ) ( , ). i 1 i j j x − x ⊂ a b (2). 对某个 j, ( , ) ( , ) i 1 i j j j x x ⊂ y − h y − 或( , ) ( , ) i 1 i j j j x − x ⊂ y y + h . 于是我们有 ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (2) 1 (2) 1 (1) 1 1 1 x x b a f x f x f x f x f b f a f x f x i i i i i i n i i i < + − ≤ + − ≤ − + − ≤ − ≤ − ∑ ∑ ∑ ∑ − − − = − ε ε ε ε 其中 ∑ (1) 表示对出现情况(1)的( , ) i 1 i x x − 求和, ∑ (2) 表示对出现情况(2)的( , ) i 1 i x x − 求 和. 由ε > 0的任意性得到 f (a) = f (b). 对任意 x ∈[a, b], 用[a, x]代替[a,b], 同样可 以得到 f (x) = f (a).因此 f 在[a,b]上恒为常数. 定理 7 (微积分基本定理)设 f (x) 是定义在[a,b]上的实值函数. 则成立牛顿-莱布尼 兹公式 f (x) f (a) f (t)dt, x [a,b] x a − = ′ ∈ ∫ (2) 的充要条件是 f (x) 是绝对连续函数. 证明 由例 1 即知必要性成立. 往证充分性. 设 f (x) 是绝对连续的. 由推论 3, f 在 [a,b]上几乎处处可导, 并且 f ′是 Lebesgue 可积的. 令 ( ) ( ) ( ) , ∫ = − ′ x a ϕ x f x f t dt x ∈[a, b]. (4) 由定理 5 知道, 在[a,b]上ϕ′(x) = 0 a.e.. 根据定理 6, ϕ(x) 在[a,b]使恒为常数. 因此