第八章二次型 在这一章里,我们将利用矩阵 来讨论元二次多项式。二次齐次多 项式也叫做二次型。二次型的理论 在数学和物理的许多分支都有着应 用
第八章 二次型 在这一章里，我们将利用矩阵 来讨论元二次多项式。二次齐次多 项式也叫做二次型。二次型的理论 在数学和物理的许多分支都有着应 用
81二次型和对称矩阵(4学时) 、教学目标: 了解二次型和二次型矩阵的概念,二次型 的矩阵表示矩阵合同的概念和性质,会用合 同变换化二次型为一个只含平方顺的二次型 重点 掌握对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同 的关系,会用合同变换和配方法配方化二次 型为一个只含平方项的二次型的方法 难点 二次型的秩与二次型的等价,合同的关系 四、教学过程:
8.1二次型和对称矩阵(4学时) 一、教学目标： 了解二次型和二次型矩阵的概念，二次型 的矩阵表示,矩阵合同的概念和性质，会用合 同变换化二次型为一个只含平方项的二次型 二、重点： 掌握对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同 的关系，会用合同变换和配方法配方化二次 型为一个只含平方项的二次型的方法. 三、难点： 二次型的秩与二次型的等价，合同的关系 四、教学过程：
定义1设F是一个数域,F上n元二次齐次多项式 q(x,x2…,x1)=a1x2+a2x2+…+amx2+2a12x12+2a1x3十…+2an1x2x 叫做F上一个n元二次型。 F上n元多项式总可以看成F上n个变量的函数。 二次型(1)定义了一个函数:q:F">(函数思想) 所以n元二次型也称为n个变量的二次型 在(1)中令an=an(1/≤m因为xx=x 所以(1)式可以写成以下的形式
定义1 设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式 2 2 2 1 2 11 1 22 2 12 1 2 13 1 3 1 1 2 2 2 n nn n n n n n q x x x a x a x a x a x x a x x a x x （ ， ， ， ）= + + + + + + + − − 叫做F上一个n元二次型。 F上n元多项式总可以看成F上n个变量的函数。 二次型（1）定义了一个函数: : n q F F → (函数思想) 所以n元二次型也称为n个变量的二次型。 在（1）中令 ij ji a a = (1 , ). i j n 因为 i j j i x x x x = 所以(1)式可以写成以下的形式:
(2)q( 12 ∑ aaxx,a= a 令A=(an)是(2)式右端的系数贩构成的矩阵,称为 二次型的矩阵。因为an=an, 所以A是F上一个n阶对称矩阵,利用矩阵的乘法 (2)式可以写成 (3)qx,x…,x)=(x,x”…x)A
(2) 1 2 ( , , , ) n q x x x = = n i a 1 , 1 = n j ij i j a x x ij ji a a = 令 ( ) A a = ij 是（2）式右端的系数所构成的矩阵，称为 二次型的矩阵。因为 , ij ji a a = 所以A是F上一个n阶对称矩阵，利用矩阵的乘法, （2）式可以写成 （3） 1 2 1 2 1 2 n n n x x q x x x x x x x = （ ， ， ， ）（ ， ， ， ）A
二次型(3)的秩就是A的秩;如果对二次型(3)的变量 施行如下的一个变换 (4) ∑ 1,2,…,n(1≤ 那么就得到一个关于P∈F和二次型4(y2,…,yn) y,y…m2(4)式称为变量和线性变换令P=() 是(4)的系数构成的矩阵,则(4)式可以写成 (5) XI y y2 yn
二次型（3）的秩就是A的秩;如果对二次型（3）的变量 施行如下的一个变换: （4） 1 1 2 n i ij j j x p y i n − = = ， ，， ， (1 , ), i j n 那么就得到一个关于 ij p F 和二次型 ' 1 2 ( ) n q y y y ， ， ， 1 2 n y y y ， ， ， (4)式称为变量和线性变换,令 P p = ( ij) 是(4)的系数构成的矩阵,则(4)式可以写成 (5) 1 1 2 2 n n x y x y P x y =