黔南民族师范学院：《线性代数》课程电子教案（PPT教学课件）第八章 二次型

0 0 取Q Q1 (请学生注意Q的取法) 0 P=E1E2…EQ 那么PAP=QE,…E2E1AEE2…E 0 0 0 21A 2I 0 这里c1=a1

取 （请学生注意Q的取法） 那么             = 0 0 1 0 0 Q1 Q   P = E1 E2 Es Q P AP Q Es E E AE1 E2 Es Q ' 1 ' 2 ' ' ' =             =             0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 ' 1 1 1 1 1 1 ' Q A Q a Q A a Q                   = n c c c 0 0 2 1  这里 . 1 a11 c =

(b)如果an=02=12…,n由于A≠0所以一定有某一个 元素。把A的第列加到第列,再把第j行加到第i行,这相当 于用初等矩阵T八Q)右乘A,再用7T0)左乘A。而经 过这样的变换后所得的矩阵第i行第列的元素是2an≠0 于是情形(b)就归结到情形(a) 注意1、在定理81.2的主对角形矩阵PAP中,主对角 线上的元素C1,C2,…Cn的不为零的c1的个数等干A的秩, 如果秩A等于r>0,可知C1,C2,…C,≠0而 r+1 C.=0

(b)如果 aii = 0,i =1,2,  ,n 由于 A  0 所以一定有某一个 元素。把A的第j列加到第i列，再把第j行加到第i行，这相当 于用初等矩阵 (1) Tji 右乘A，再用 ( ) ( )  Tij 1 = Tji 1 左乘A。而经 过这样的变换后所得的矩阵第i行第j列的元素是 2aij  0 于是情形(b)就归结到情形(a)。 注意 1、在定理8.1.2的主对角形矩阵 PAP 中，主对角 线上的元素 n c ,c , c 1 2 的不为零的 i c 的个数等于A的秩， 如果秩A等于r >0，可知 c1 ,c2 , cr  0 而 1 0. r n c c + = = =

2、给了数域F上一个n阶对称矩阵A,由定理81.2的证明 过程可以看出,我们可以具体地求出一个可逆矩阵P,使得 PAP有对角形式,只要在对A施行一对列初等变换和行初 等变换的同时,仅对m阶单位矩阵施行同的列初等变换, 那么当A化为对角形式时,[就化为P 例1设 0003 60 003 612-4 0-40 (演算过程省略)

2、给了数域F上一个n阶对称矩阵A，由定理8.1.2的证明 过程可以看出，我们可以具体地求出一个可逆矩阵P，使得 PAP 有对角形式，只要在对A施行一对列初等变换和行初 等变换的同时，仅对n阶单位矩阵I施行同样的列初等变换， 那么当A化为对角形式时，I就化为P。 例1 设               − − − − = 3 0 4 0 0 6 12 4 0 3 6 0 0 0 0 3 A (演算过程省略)

定理8.1.5数域F上每一个n元二次型 ∑∑ax可以通过变量的非奇线性变换化为 2 C +∷+C n. n 1c2 ∈F 例如,以例1中对称矩阵A为矩阵的二次型是

定理8.1.5 数域F上每一个n元二次型  可以通过变量的非奇线性变换化为 = = n i n i ij i j a x x 1 1 2 2 2 2 2 1 1 n n c y + c y ++ c y c1 ,c2 ,  ,cn  F 例如，以例1中对称矩阵A为矩阵的二次型是