将(5代入(3)就得到 (6)q(,y2…,y)=(,y2…y 矩阵P称为线性变换(4)的矩阵。如果P是非奇异的 就称(4)是一个非奇异线性变换。 A对称矩阵→(PAP= PAP=PAP令>PAP 也是对称矩阵
将(5)代入(3)就得到 (6) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 n n n y y q y y y y y y PAP y = ， ， ， ， ， ， 矩阵P称为线性变换（4）的矩阵。如果P是非奇异的， 就称（4）是一个非奇异线性变换。 A对称矩阵 （ ） =P A P=P AP P AP P AP 也是对称矩阵
定理811设∑∑4是数域F上一个以A为矩阵的n i=1j=1 元二次型对它的变量施行一次以P为矩阵的线性变后所得 到的二次型的矩阵是PAP 推论812一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之 下保持不变
定理8.1.1 设 = n i 1 = n j ij i j a x x 1 是数域F上一个以A为矩阵的n 元二次型,对它的变量施行一次以P为矩阵的线性变后所得 到的二次型的矩阵是 ' P AP. 推论8.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之 下保持不变
研究性问题1:为什么要取二次型的矩阵是对称矩 阵(否则导致推论912不成立) 例:二次型q(x,x2)=2x1x2的矩阵啥是 01 02 若取A2 10 00 作为该二次型的矩阵,那么经过变量的非奇异线性变换 x1=y1-y2,X2=y1+y2 就得到二次型2y2-2y2.它的矩陈是/20 0-2 秩为2,而A2的秩为1
研究性问题1： 为什么要取二次型的矩阵是对称矩 阵（否则导致推论9.1.2不成立） 例： 二次型 1 2 2 1 2 q(x , x ) = x x 的矩阵是: 1 0 1 1 0 A = 若取 = 0 0 0 2 A2 作为该二次型的矩阵，那么经过变量的非奇异线性变换 1 1 2 2 1 2 x = y − y , x = y + y 就得到二次型 2 2 1 2 2 2 . y y − 它的矩阵是 0 − 2 2 0 秩为2，而 A2 的秩为1
定义2设A.B是数域F上两个n阶矩阵。如果存在F上一个 非奇异矩阵p,使得PAP=BA与B合同。 矩阵的合同关系具有以下性质:(等价关系) 1.自反性:LAⅠ=A 2.对称性:由PAP=B=XP)BPN(QBP1=A 3.传递性:由PAP=B和QBQ=C矩阵可 →(PQA(PQ= Q APQ=QBQ=
定义2 设 是数域F上两个n阶矩阵。如果存在F上一个 非奇异矩阵p，使得 A与B合同。 矩阵的合同关系具有以下性质：（等价关系）: 1．自反性： 2．对称性：由 3．传递性：由 和 矩阵可得 A B, P AP = B ' IAI = A P AP = B ' P AP = B ' Q BQ = C ' PQ A PQ = Q P APQ = Q BQ = C ' ' ' ' ( ) ( ) 1 1 1 1 ( ) ( ) P BP P BP A − − − − = =
研究性问题2: 合同的矩阵→→有相同的秩,反之如何?与一个对称 矩阵合同的矩阵仍是对称的?教树中。矩阵的等价关系 有那些? 定义F上两个二次型叫做等价的,如果可以通过变量 的非奇异线性变换将其中一个变成另一个 定理91.3数域F上两个二次型等价的必要且充分条 件是它们的矩阵合同 等价的二次型具有相同的秩
研究性问题2： 合同的矩阵 等价的二次型具有相同的秩。 有相同的秩，反之如何？与一个对称 矩阵合同的矩阵仍是对称的？教材中。矩阵的等价关系 有那些？ 定义 F上两个二次型叫做等价的，如果可以通过变量 的非奇异线性变换将其中一个变成另一个。 定理9.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分条 件是它们的矩阵合同