§4.2方差 >一、方是的 =。散型机长的方是 >B,电能型机长的方 >回方是的质 >B、长要面数尚数和
士士 §42方差 方差的概念 引例:现有甲、乙两位射手,甲射手射击中命中的环数 A用X表示,乙射手射击中命中的环数用Y表示,甲、乙两射 手射击中命中的环数分布分别为: x39101439102 P02069029 P401408019 现在问甲、乙两位射手谁的射击水平谁更稳定些? 易知,甲、乙两位射手每次射击命中的平均环数分别为 EX=8×02+9×0.6+10×0.2=9(环) EY=8×0.1+9×0.8+10×0.1=9(环 上页
§4.2 方差 一、方差的概念 引例： 现有甲、乙两位射手，甲射手射击中命中的环数 用X表示，乙射手射击中命中的环数用Y表示，甲、乙两射 手射击中命中的环数分布分别为： 现在问甲、乙两位射手谁的射击水平谁更稳定些？ 易知，甲、乙两位射手每次射击命中的平均环数分别为 ， ． EX = 80.2 +90.6 +100.2 = 9（环） EY = 80.1+ 90.8+100.1 = 9 (环)
可见,甲、乙两位射手每次射击命中的平均环数相等,这 表明这两位射手的射击水平相当.但是,谁的射击水平谁更稳 定呢?通常的想法是,看谁命中的环数x与其平均环数E的 偏差绝对值x-EX的平均值最小即EX-EX最小EX-EX 王應小,x的值就愈集中于EX附近,表明此射手发挥意稳定; EX-EX愈大,X的值在EX附近就愈分散,表明此射手发挥 愈不稳定.然而在实际中EX-EX带有绝对值,在数学运算 上不方便,因而,通常用B(X-EN来表达随机变量X取值的 分散程度或集中程度 据此分析,我们可以算得 工工 E(X-EX)2=(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(10-9)2×02=04 E(Y-EY)2=(8 (8-9)2×0.1+(9-9)2×0.8+(10-9)2×01=02 由于E(X-EX)>E(Y-EY),因此我们认为乙的射击水平更 稳定一些 圆[回 上页
可见，甲、乙两位射手每次射击命中的平均环数相等，这 表明这两位射手的射击水平相当．但是，谁的射击水平谁更稳 定呢？通常的想法是，看谁命中的环数 与其平均环数 的 偏差绝对值 的平均值最小,即 最小. 愈小，X的值就愈集中于 附近，表明此射手发挥愈稳定; 愈大，X的值在 附近就愈分散，表明此射手发挥 愈不稳定．然而在实际中 带有绝对值，在数学运算 上不方便，因而，通常用 来表达随机变量X取值的 分散程度或集中程度． 据此分析，我们可以算得 ， ． 由于 ,因此,我们认为乙的射击水平更 稳定一些． i x EX xi − EX E X − EX E X − EX EX E X − EX EXE X − EX E(X − EX) ( ) (8 9) 0.2 (9 9) 0.6 (10 9) 0.2 0.4 2 2 2 2 E X − EX = − + − + − = ( ) (8 9) 0.1 (9 9) 0.8 (10 9) 0.1 0.2 2 2 2 2 E Y − EY = − + − + − = ( ) ( ) 2 2 E X − EX E Y − EY
可以看出F(X-EX)是用来描述随机变量X与其平均值E(偏 广离程度的一种量,为此我们给出如下定义 定义43设X是一个随机变量,若E(X-EX)存在,则称 E(X-EH)为X的方差( Variance),记为D或va(X),即 DX=Var(X)=E(X-EX (412) 而称、DX为X的标准差( Standard deviation)或均方差记为 Ha(X).即(x)=√DX,它与X有相同的量纲 随机变量X的方差DX刻画的是X的取值关于其数学期望EX r的分散或集中程度D￥愈小,X的取值关于EX愈集中;DX 愈大,X的取值关于EX愈分散 中由定义可知,随机变量X的方差是其函数(x-BX的数学 二期望,因此,从计算上讲,方差与数学期望没有质的区别,通 中常用下列公式计算方差 DX=EX=(EX) (4—13) 王这是因为(XBX=x2=2BX+(E)所F以 上页
可以看出， 是用来描述随机变量X与其平均值 偏 离程度的一种量，为此我们给出如下定义 定义4.3 设X是一个随机变量，若 存在，则称 为X的方差（Variance），记为 或 ，即 ， （4—12） 而称 为X的标准差（Standard Deviation）或均方差,记为 ,即 ，它与X有相同的量纲． 随机变量X的方差 刻画的是X的取值关于其数学期望 的分散或集中程度， 愈小，X的取值关于 愈集中； 愈大，X的取值关于 愈分散． 由定义可知，随机变量X的方差是其函数 的数学 期望，因此，从计算上讲，方差与数学期望没有质的区别，通 常用下列公式计算方差： （4—13） 这是因为 ，所以 2 E(X − EX) EX 2 E(X − EX) ( ) 2 E X − EX DX Var(X ) 2 DX = Var(X) = E(X − EX) DX (X ) (X ) = DX DX EX DX EX DX EX 2 (X − EX) DX = − 2 EX 2 (EX) 2 2 2 [X − E(X)] = X − 2XEX + (EX)
DX=ELY-E(XP=EX-2(EX)+(EX)=EX(EX) 二、离散型随机变量的方差 设X为离散型随机变量,其分布列为 X=x + x+… pnP2°…n° 若E存在,且(x-EX)p收敛,则 DX=∑(x-EX)2P (414) 成 DX=∑x2P,-(EX) 上页
二、离散型随机变量的方差 设X为离散型随机变量，其分布列为 若 存在，且 收敛，则 （4—14） 或 （4—15） 2 DX = E X − E(X ) 2 2 2 2 2 = EX − 2(EX) + (EX) = EX − (EX) EX i i i x EX p 2 1 ( − ) = i i i DX = x − EX p = 2 1 ( ) 2 1 2 DX x p (EX) i i = i − =