§44 Lebesgue积分与 Riemann积分 教学目的本节讨论直线上的 Riemann积分(包括广义 Riemann积分)与 Lebesgue积分之间的关系同时给出 Riemann可积函数的一个判别条件 本节要点用测度理论可以给出函数 Riemann可积的一个简明的充要条 件.本节的主要结果表明 Lebesgue积分是 Riemann积分的推广.利用 Lebesgue积分的性质,可以解决一些 Riemann积分的问题 Riemann积分的回顾先回顾一下 Riemann积分的定义设[a,b]是直线上的一个有 界闭区间.一个有限序列P={x0,x1…,x}称为是[a,b]的一个分割,若 a=x0<x1<…<x=b.设P和Q是[a,b的两个分割如果P∈Q,则称Q是P的 设∫是定义在[ab]上的有界实值函数,P={x}0是{ab]的一个分割对每个 1,…,k,令 m=inff(x):xE[-, x, 1i, M=supf(x): xEL,xl ∫关于分割P的 Darboux下和与 Darboux上和分别定义为 s(,P)=∑m(x-x1),S(,P)=∑M1(x1-x1) s(∫,P)和S(∫,P)的几何意义分别是曲线y=∫(x)的下方图形(曲边梯形)的内接阶梯 形与外接阶梯形面积(见引言的插图)显然对[a,b的任意一个分割P,总有 s(∫,P)≤S(f,P).又容易验证以下实事 (1)若P和P是[a,b]的两个分割,并且P2是P的加细,则有 s(f,P)≤s(,P),S(f,P2)≤S(f,P) (2)对[a,b]的任意两个分割P和P2,总有 s(∫,P)≤S(f,P) 因此当P取遍[a,b]的所有分割时,f的下和s(f,P)的全体所成的数集上有界,上和 S(∫,P)的全体所成的数集下有界令 (=sup{s(f,P):P是[a,b的分割}, ()=inf{S(f,P):P是[a,b]的分割} 分别称和为∫的下积分和上积分.如果=,则称∫在[a,b]上是Ri lemann 积的,并且称和I的公共值为∫在[a,b]上的 Riemann积分(简称为R积分).为避免与
113 4.4 Lebesgue 积分与 Riemann 积分 教学目的 本节讨论直线上的 Riemann 积分(包括广义 Riemann 积分)与 Lebesgue 积分之间的关系.同时给出 Riemann 可积函数的一个判别条件. 本节要点 用测度理论可以给出函数 Riemann 可积的一个简明的充要条 件. 本节的主要结果表明 Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广. 利用 Lebesgue 积分的性质, 可以解决一些 Riemann 积分的问题. Riemann 积分的回顾 先回顾一下 Riemann 积分的定义. 设[a,b]是直线上的一个有 界闭区间 . 一个有限序列 { , , , } 0 1 k P = x x L x 称为是 [a,b] 的一个分割 , 若 . 0 1 a x x x b = < < L < k = 设 P 和Q 是[a,b]的两个分割. 如果 P ⊂ Q, 则称Q 是 P 的 一个加细. 设 f 是定义在[a,b] 上的有界实值函数, k i i P x 0 { } = = 是[a,b] 的一个分割. 对每个 i = 1,L, k, 令 inf{ ( ) : [ , ]}, sup{ ( ) : [ , ]}. i i 1 i i i 1 i m f x x x x M f x x x x = ∈ − = ∈ − f 关于分割 P 的 Darboux 下和与 Darboux 上和分别定义为 ( , ) ( ), ( , ) ( ). 1 1 1 ∑ 1 ∑= − = = − − = − k i i i i k i i i i s f P m x x S f P M x x s( f , P) 和 S( f , P) 的几何意义分别是曲线 y = f (x) 的下方图形(曲边梯形)的内接阶梯 形与外接阶梯形面积 ( 见引言的插图 ). 显然对 [a,b] 的任意一个分割 P , 总 有 s( f , P) ≤ S( f , P). 又容易验证以下实事: (1) .若 P1 和 P2 是[a,b]的两个分割, 并且 P2 是 P1 的加细, 则有 ( , ) ( , ), 1 P2 s f P ≤ s f ( , ) ( , ). 2 P1 S f P ≤ S f (2).对[a,b]的任意两个分割 P1 和 P2 ,总有 ( , ) ( , ). 1 P2 s f P ≤ S f 因此当 P 取遍[a,b] 的所有分割时, f 的下和 s( f , P) 的全体所成的数集上有界, 上和 S( f , P) 的全体所成的数集下有界.令 I( f ) = sup{s( f , P) : P是[a,b] 的分割}, I( f ) = inf{S( f , P) : P是[a,b] 的分割}. 分别称 I 和 I 为 f 的下积分和上积分. 如果 I = I, 则称 f 在[a,b]上是 Riemann 可 积的, 并且称 I 和 I 的公共值为 f 在[a,b]上的 Riemann 积分(简称为 R 积分). 为避免与
Lebesgue积分混淆,下面将∫在[a,b上的 Riemann积分和 Lebesgue积分分别暂记为 (R)和(L 引理1设∫是定义在[a,b]上的有界实值函数则以下三项是等价的 ().f在[a,b]上是 Riemann可积的 (i)对任意E>0,存在[a,b]的一个分割P,使得 S(f,P)-s(,P)<E. (i)存在[a,b]的一列分割{Pn},使得 im(S(,P)-s(,P)=0. 证明()()设在[a上是Rm可积的记=(R)广ak则对任意 E>0,存在[a,b]的两个分割P和P2使得 -(,P)<5,S(f,P2)-1<5 令P=P∪P则P是P和P2的加细.于是我们有 S(f,P)-s(,P)≤S(,P2)-s(f,B)≤(S(,P)-1)+(-s(f,B)<E. (i)→(i).显然 (i)→(1).设Pn是[a,b]的一列分割使得 lim(SO, P)-s, P)=0 对任意E>0,取n使得 S(/,P)-S(,P)<E 于是 -I≤S(f,P)-s(,P)<E 由于E>0是任意的故必有I=l即∫在[a,6上是 Riemann可积的 Riemann可积的充要条件与两种积分的关系 定理2设∫是定义在[a,b]上的有界实值函数.则 ().∫在[a,b]上 Riemann可积的充要条件是∫在[a,b]上几乎处处连续(即f的不 连续点的全体是一个 Lebesgue零测度集) (i)若∫是 Riemann可积的,则∫是 Lebesgue可积的,并且两种积分相等,即 R)广体=L)f 证明设∫在[a,b上是 Rieman可积的由引理1知存在[a,b]的一列分割 Pn={x,…x}H(n≥1)使得
114 Lebesgue 积分混淆, 下面将 f 在[a,b]上的 Riemann 积分和 Lebesgue 积分分别暂记为 ∫ b a (R) fdx 和(L) . ∫ b a fdx 引理 1 设 f 是定义在[a,b]上的有界实值函数. 则以下三项是等价的; (i). f 在[a,b]上是 Riemann 可积的 (ii).对任意ε > 0, 存在[a,b]的一个分割 P , 使得 S( f , P) − s( f , P) < ε. (iii).存在[a,b]的一列分割{ }, Pn 使得 lim( ( , ) − ( , )) = 0. →∞ n n n S f P s f P 证明 (i) ⇒ (ii). 设 f 在[a,b] 上是 Riemann 可积的.记 I = (R) . ∫ b a fdx 则对任意 ε > 0, 存在[a,b]的两个分割 P1 和 P2 使得 , 2 ( , )1 ε I − s f P < . 2 ( , ) 2 ε S f P − I < 令 . P = P1 ∪ P2 则 P 是 P1 和 P2 的加细. 于是我们有 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ) ) ( ( , )) . 2 1 2 1 S f P − s f P ≤ S f P − s f P ≤ S f P − I + I − s f P < ε (ii) ⇒ (iii).显然 (iii) ⇒ (i).设 Pn 是[a,b]的一列分割,使得 lim( ( , ) − ( , )) = 0. →∞ n n n S f P s f P 对任意ε > 0, 取 0 n 使得 ( , ) ( , ) . 0 0 − < ε n Pn S f P s f 于是 − ≤ ( , ) − ( , ) < ε 0 0 n Pn I I S f P s f . 由于ε > 0是任意的,故必有 I = I.即 f 在[a,b]上是 Riemann 可积的. Riemann 可积的充要条件与两种积分的关系 定理 2 设 f 是定义在[a,b]上的有界实值函数. 则 (i). f 在[a,b]上 Riemann 可积的充要条件是 f 在[a,b]上几乎处处连续(即 f 的不 连续点的全体是一个 Lebesgue 零测度集). (ii).若 f 是 Riemann 可积的, 则 f 是 Lebesgue 可积的, 并且两种积分相等, 即 = ∫ b a ( . R) fdx (L)∫ b a fdx 证明 设 f 在[a,b]上是 Riemann 可积的. 由引理 1 知存在[a,b]的一列分割 { , }( 1) P = x0 x n ≥ n n L k 使得
lim(S, P-s, P))=0 我们可适当选取上面的分割序列{Pn},使得Pn+是P的加细.对每个自然数n≥1,令 m(m=inf(f(x): xE[x-l, x1), M(=Sup{f(x):x∈[x-1,x,]}.i=1…kn 再对每个自然数n≥1,令 gn=f(a)+∑ mI-1, h=f(a)+∑M"1-x1 则{gn}和{n}都是简单函数列,并且{gn}单调增加,{n}单调减少.而且满足 gn≤∫≤hn,n≥1.再令g= lim g,h= lim h由于∫是有界的,故g和h都是有界 可测函数,并且成立 g(x)≤f(x)≤饿(x).x∈[a,b 由控制收敛定理和gn与bn的定义,我们有 (L) gdx=lim(L)g, dx=lims(, P,) (L). hdx=lim(L).h, dx= lim S(, P) 由于lim(S(f,Pn)-s(f,P)=0,结合(2)与(3)得到 (L)[(h-g)dx=0 注意到g≤h,由§42定理7和上式得到g=hae.因此若令A={g≠h},则 m(A)=0.再设B是所有分割P的分点的全体则B是可数集.因此m(A∪B)=0.容 易知道当xgA∪B时,∫在x连续.因此∫在[a,b上几乎处处连续故()的必要性得 证.由于g=hae,结合(l)知道∫=gae.故∫是L可测的.又由于∫在[a,b上是 有界的,因此∫在[a,b]上是 Lebesgue可积的又由于当n→>∞时 0≤(R)x-(f,P)≤S(f,P)-(,P)→0 因此lms(,P)=(B)再结合(2)我们有 (L) fax=(L)L gdr=lim s(, Pn)=(R).fdr 故(i)得证 往证()的充分性设∫在[a,b]上几乎处处连续.又设{P}是[a,b]的一列分割,其 中{Pn}把[a,b]分成2个等长的小区间.按前述方式定义函数g和h.显然当x是f的 连续点时,g(x)=f(x)=(x)因此g=hae.由(2)与(3)得到 lim(S(, P)-s(, P))=0
115 lim( ( , ) − ( , )) = 0. →∞ n n n S f P s f P 我们可适当选取上面的分割序列{ } Pn , 使得 Pn+1 是 Pn 的加细. 对每个自然数 n ≥ 1, 令 inf{ ( ) : [ , ]}, 1 ( ) i i n i m f x x x x = ∈ − sup{ ( ) : [ , ]}. 1 ( ) i i n i M f x x x x = ∈ − 1, , . n i = L k 再对每个自然数 n ≥ 1, 令 ( ) , ( ) . 1 ( , ] ( ) 1 ( , ] ( ) ∑ 1 ∑ 1 = = − − = + = + n i i n i i k i x x n n i k i x x n n i g f a m I h f a M I 则 { }n g 和 { }n h 都是简单函数列, 并且 { }n g 单调增加, { }n h 单调减少.而且满足 g ≤ f ≤ h , n ≥ 1. n n 再令 lim , lim . n n n n g g h h →∞ →∞ = = 由于 f 是有界的, 故 g 和 h 都是有界 可测函数, 并且成立 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x), x ∈[a,b]. (1) 由控制收敛定理和 n g 与 n h 的定义, 我们有 (L) lim(L) lim ( , ), n n b a n n b a gdx g dx s f P →∞ ←∞ = = ∫ ∫ (2) (L) lim(L) lim ( , ). n n b a n n b a hdx h dx S f P →∞ ←∞ = = ∫ ∫ (3) 由于 lim( ( , ) − ( , )) = 0, →∞ n n n S f P s f P 结合(2)与(3)得到 (L) ( − ) = 0. ∫ b a h g dx 注意到 g ≤ h, 由 4.2 定理 7 和上式得到 g = h a.e.. 因此若令 A = {g ≠ h}, 则 m(A) = 0. 再设 B 是所有分割 Pn 的分点的全体. 则 B 是可数集. 因此m(A ∪ B) = 0. 容 易知道当 x ∉ A ∪ B 时, f 在 x 连续. 因此 f 在[a,b]上几乎处处连续. 故(i) 的必要性得 证. 由于 g = h a.e., 结合(1) 知道 f = g a.e.. 故 f 是 L 可测的. 又由于 f 在[a,b]上是 有界的, 因此 f 在[a,b]上是 Lebesgue 可积的. 又由于当 n → ∞ 时, 0 ≤ (R) − ( , ) ≤ ( , ) − ( , ) → 0. ∫ n n n b a fdx s f P S f P s f P 因此 ∫ = →∞ b a n n lim s( f , P ) (R) fdx. 再结合(2)我们有 ∫ ∫ ∫ = = = →∞ b a n n b a b a (L) fdx (L) gdx lim s( f , P ) (R) fdx. 故(ii) 得证. 往证(i) 的充分性. 设 f 在[a,b]上几乎处处连续. 又设{ } Pn 是[a,b]的一列分割, 其 中{ } Pn 把[a,b]分成 n 2 个等长的小区间. 按前述方式定义函数 g 和 h. 显然当 x 是 f 的 连续点时, g(x) = f (x) = h(x). 因此 g = h a.e.. 由(2)与(3)得到 lim( ( , ) − ( , )) = 0 →∞ n n n S f P s f P
由引理1知道∫在[a,b]上是 Riemann可积的故()的充分性得证■ 定理2给出了函数∫在[a,b]上 Riemann可积的一个简单明了的判别条件,同时也 表明 Lebesgue积分是 Riemann积分的推广,并且 Lebesgue积分的可积函数类比 Riemann 积分的可积函数类大在§41中我们曾指出[O,上的 Dirichlet函数D(x)是L可积的但 由于D(x)在[O,上处处不连续,由定理2知道D(x)不是 Riemann可积的这个例子表 明 Lebesgue积分的可积函数类严格地大于 Riemann积分的可积函数类 广义 Riemann积分与 Lebesgue积分的关系 下面的定理仅以无穷区间[a,+∞)的广义 Riemann积分为例对其他无穷区间上的 广义 Riemann积分和无界函数的广义 Riemann积分也有类似的结果 定理3设∫是定义在[a,+∞)上的实值函数,并且对任意b>a,f在[a,b]上是有 界的几乎处处连续的.则有 (R)/x=(L)∫” 因此∫在[a+∞)上 Lebesgue可积当且仅当广义Remn积分(R)质绝对收敛并 且当(R)fa绝对收敛时,成立 R)=L)厂 证明由定理2知道对任意b>a,∫在[a,b]上是 Riemann可积的对每个n≥a,令 fn=|(an则f个f.由于每个f是L可测的,因此∫是L可测的由单调收敛定 理和定理2,我们有 (L)。1x=lim(L)Jx=1m(L)儿 几→ n→① m(R)儿mt=(R)J” 故4成立因此f在a+)上 Lebesgue可积当且仅当广义 Riemann积分(R厂 绝对收敛.当(R)f绝对收敛时,∫在[a,+∞)上是 Lebesgue可积的由于 川sf并且fn→∫处处成立,由控制收敛定理和定理2,我们有 (L)L fax=lim(L)L f,dx=lim(L). fdx 6 Im(R)/=(R厂 定理证毕 定理2和定理3表明,若∫在[a,b上 Rieman可积,或者∫在有界或无界区间上 的广义 Riemann积分绝对收敛,则∫是 Lebesgue可积的并且这两种积分值相等.在这种
116 由引理 1 知道 f 在[a,b]上是 Riemann 可积的. 故(i) 的充分性得证. 定理 2 给出了函数 f 在[a,b]上 Riemann 可积的一个简单明了的判别条件, 同时也 表明 Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广, 并且 Lebesgue 积分的可积函数类比 Riemann 积分的可积函数类大. 在 4.1中我们曾指出[0,1]上的 Dirichlet函数 D(x) 是 L可积的. 但 由于 D(x) 在[0,1]上处处不连续, 由定理 2 知道 D(x) 不是 Riemann 可积的. 这个例子表 明 Lebesgue 积分的可积函数类严格地大于 Riemann 积分的可积函数类. 广义 Riemann 积分与 Lebesgue 积分的关系 下面的定理仅以无穷区间[a,+ ∞) 的广义 Riemann 积分为例. 对其他无穷区间上的 广义 Riemann 积分和无界函数的广义 Riemann 积分也有类似的结果. 定理 3 设 f 是定义在[a, + ∞) 上的实值函数, 并且对任意b > a, f 在[a,b]上是有 界的几乎处处连续的. 则有 (R) (L) . ∫ ∫ +∞ +∞ = a a f dx f dx (4) 因此 f 在[a, + ∞) 上 Lebesgue 可积当且仅当广义 Riemann 积分 ∫ +∞ a (R) fdx 绝对收敛. 并 且当 ∫ +∞ a (R) fdx 绝对收敛时, 成立 (R) (L) . ∫ ∫ +∞ +∞ = a a fdx fdx 证明 由定理2知道对任意b > a, f 在[a,b]上是Riemann可积的. 对每个n ≥ a, 令 . n [a,n] f = f I 则 f f . n ↑ 由于每个 n f 是 L 可测的, 因此 f 是 L 可测的. 由单调收敛定 理和定理 2, 我们有 lim (R) (R) . (L) lim(L) lim(L) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ ←∞∞ →∞ +∞ →∞ +∞ = = = = a n n a n a n a n a n f dx f dx f dx f dx f dx (5) 故(4)成立. 因此 f 在[a, + ∞) 上 Lebesgue 可积当且仅当广义 Riemann 积分 ∫ +∞ a (R) fdx 绝对收敛.. 当 ∫ +∞ a (R) fdx 绝对收敛时, f 在 [a, + ∞) 上是 Lebesgue 可积的. 由于 f f n ≤ 并且 f f n → 处处成立, 由控制收敛定理和定理 2, 我们有 lim (R) (R) . (L) lim(L) lim(L) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ ←∞∞ →∞ +∞ →∞ +∞ = = = = a n n a n a n a n a n fdx fdx fdx f dx fdx (6) 定理证毕. 定理 2 和定理 3 表明, 若 f 在[a,b]上 Riemann 可积, 或者 f 在有界或无界区间上 的广义 Riemann 积分绝对收敛, 则 f 是 Lebesgue 可积的并且这两种积分值相等. 在这种
情况下,此时∫的 Riemann积分可视为 Lebesgue积分,因而可以应用 Lebesgue积分的性 质例如极限定理等 定理2和定理3也表明,若∫在某区间上同时是(正常或者广义尺R可积和L可积的,则 这两种积分值相等因此以后f在区间上的R积分和L积分都用广体和∫”质等表 示,不会发生混淆 例1设∫(x)=x.在数学分析课程中熟知,∫在[0+∞)上的广义 Riemann积 分是收敛的但不是绝对收敛的由定理3,∫在[0,+∞)上不是L可积的 nsIn 例2证明lim d x= (1+x2)x 证明令 nsin f (x) n≥1.g(x) 则g,n21.由于广义 Riemann积分。g在收敛由定理3知道g在[+∞)上是 L可积的因此每个,是L可积的由定理3「fd可以视为Lhsg积分由于 (n→>∞).利用控制收敛定理得到 1+x nsIn limO 例3证∫1,1 In -dx= 证明由泰勒级数知道 十仍 0<x<1 x IA nal n (6)式在x=0和x=1不成立.但m({0,1})=0,故(7)式在[O,]上几乎处处成立.由于在 [0,1上 f(x)=n20,f(x) 由定理3知道它们的积分都可以视为 Lebesgue积分.利用推论3我们有 117
117 情况下,此时 f 的 Riemann 积分可视为 Lebesgue 积分, 因而可以应用 Lebesgue 积分的性 质例如极限定理等. 定理 2 和定理 3 也表明, 若 f 在某区间上同时是(正常或者广义)R 可积和 L 可积的, 则 这两种积分值相等. 因此以后 f 在区间上的 R 积分和 L 积分都用 ∫ b a fdx 和 ∫ +∞ a fdx 等表 示, 不会发生混淆. 例 1 设 . sin ( ) x x f x = 在数学分析课程中熟知, f 在[0,+ ∞) 上的广义 Riemann 积 分是收敛的但不是绝对收敛的. 由定理 3, f 在[0,+ ∞) 上不是 L 可积的. 例 2 证明 . (1 ) 2 sin lim 0 2 π = + ∫ +∞ →∞ dx x x n x n n 证明 令 , (1 ) sin ( ) 2 x x n x n f x n + = n ≥ 1. . 1 1 ( ) 2 x g x + = 则 f ≤ g, n ≥ 1. n 由于广义 Riemann 积分 ∫ +∞ 0 gdx 收敛. 由定理 3 知道 g 在[0,+ ∞) 上是 L 可积的. 因此每个 n f 是 L 可积的. 由定理 3,∫ +∞ 0 f dx n 可以视为 Lebesgue 积分.由于 , 1 1 2 x f n + → (n → ∞). 利用控制收敛定理得到 . 2 arctg 1 1 (1 ) sin lim 0 0 2 0 2 π = = + = + +∞ +∞ +∞ →∞ ∫ ∫ dx x x dx x x n x n n 例 3 证明 . 1 1 1 ln 1 1 2 1 ∫0 ∑ ∞ = = − n n dx x x 证明 由泰勒级数知道 , 0 1. 1 1 ln 1 1 1 = < < − ∑ ∞ = − x n x x x n n (7) (6)式在 x = 0 和 x = 1不成立. 但 m({0,1}) = 0, 故(7)式在[0,1]上几乎处处成立. 由于在 [0,1]上 0, 1 1 ln 1 ( ) ≥ − = x x f x ( ) 0. 1 = ≥ − n x f x n n 由定理 3 知道它们的积分都可以视为 Lebesgue 积分. 利用推论 3 我们有