第七章线性变换7.1线性映射72线性变换的运算7.3线性变换和矩阵7.4不变子空间7.5特征值和特征向量7.6可以对角化矩阵
第七章 线性变换 7.1 线性映射 7.2 线性变换的运算 7.3 线性变换和矩阵 7.4 不变子空间 7.5 特征值和特征向量 7.6 可以对角化矩阵
当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美--拉格朗日（Lagrange,1736-1813）数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少知觉，形少数时难入微---华罗庚（1910-1985）
当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取对方的 新鲜活力，并迅速地趋于完美. -拉格朗日（Lagrange,1736-1813） 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。 数缺形时少知觉，形少数时难入微. -华罗庚（1910－1985）
7.1 线性变换一、内容分布7.1.1线性映射的定义及例子7.1.2线性变换的象与核二、重点、难点判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射）求给定线性变换的象与核
7.1 线性变换 一、内容分布 7.1.1 线性映射的定义及例子. 7.1.2 线性变换的象与核. 二、重点、难点 判断给定的法则是否是一个线性变换(线性映射),求给 定线性变换的象与核．
7.1.1线性映射的定义及例子设F是一个数域，V和W是F上向量空间定义1设是V到W的一个映射．如果下列条件被满足，就称是V到W的一个线性映射：(i)对于任意的,nEV,o(+n)=a()+o(n);(ii）对于任意的aF,o(a)=ao)例1对于R2的每一个向量=(x，x）,定义0() =(X1, Xi-X2,X)+x2) ER3,o是R2到R3的一个线性映射
设F是一个数域，V和W是F上向量空间. (i) 对于任意的ξ,η∈V,σ(ξ+η)=σ(ξ)+σ(η)； 例1 对于R2的每一个向量ξ=(x1, x2),定义 定义1 设σ是V 到W的一个映射. 如果下列条件被满足，就 称σ是V 到W 的一个线性映射： (ii) 对于任意的a∈F,σ(aξ)=aσ(ξ). σ(ξ) =(x1, x1-x2 , x1+x2) ∈R3 , σ是R2到R3的一个线性映射. 7.1.1 线性映射的定义及例子
证(i)设=(x1,x2),n=(y1,2)是R2的任意两个向量,此时(c+n) =o (xi+y1, x2+y2))=((xi+y1, (xi+y1)-(x2+y2), (xi+y1)+(x2+y2))= (xi+y1, (xi-x2) +(y1-y2) , (x+x2)+(yi+y2)((x1, (x1-x2), (xi+x2))+(y1, (y1-y2),(yi+y2)=a () +o(n)(ii)设aER,=(x,x)ER,此时o(a)=o ((axj,ax2)) =(ax1,axi-ax2,ax,+ax2)=a (x1,Xi-x2,X)+x2) =ao()因此是R到R的一个线性映射
证 (i)设ξ=(x1, x2), η=(y1, y2)是R2的任意两个向量,此时 σ(ξ+η) =σ ((x1+y1, x2+y2)) = ((x1+y1, (x1+y1)-(x2+y2) , (x1+y1)+(x2+y2)) = ((x1+y1, (x1-x2) +(y1-y2) , (x1+x2)+(y1+y2)) = ((x1, (x1-x2) , (x1+x2))+(y1, (y1-y2) ,(y1+y2)) =σ (ξ) +σ(η) (ii) 设a∈R,ξ=(x1, x2) ∈R2 , 此时 σ(aξ) =σ ((ax1, ax2)) = (ax1, ax1-ax2 , ax1+ax2) = a (x1, x1-x2 , x1+x2) = aσ(ξ) 因此σ是R2到R3的一个线性映射