高等代数选讲
高等代数选讲
目录第一讲带余除法第二讲不可约多项式，第三讲互素与不可约、分解9第四讲多项式的根13第五讲典型行列式...17第六讲循环行列式.21第七讲特殊行列式方法.26第八讲解线性方程组....31.36第九讲分块矩阵与求秩第十讲矩阵的分解与求逆.40第十一讲广义逆与特殊矩阵对关系...45第十二讲特征值、对角线与最小多项式.51第十三讲向量的线性相关与自由度.56第十四讲双线性型与正定二次型...61第十五讲线性空间及其几何背景..66第十六讲欧氏空间和正交变换的意义71第十七讲线性变换的核与象..76第十八讲线性变换的特征与不变子空间81
目 录 第一讲 带余除法.1 第二讲 不可约多项式.5 第三讲 互素与不可约、分解.9 第四讲 多项式的根.13 第五讲 典型行列式.17 第六讲 循环行列式.21 第七讲 特殊行列式方法.26 第八讲 解线性方程组.31 第九讲 分块矩阵与求秩.36 第十讲 矩阵的分解与求逆.40 第十一讲 广义逆与特殊矩阵对关系.45 第十二讲 特征值、对角线与最小多项式.51 第十三讲 向量的线性相关与自由度.56 第十四讲 双线性型与正定二次型.61 第十五讲 线性空间及其几何背景.66 第十六讲 欧氏空间和正交变换的意义.71 第十七讲 线性变换的核与象.76 第十八讲 线性变换的特征与不变子空间.81
第一讲 带余除法定理1（带余除法）Vf(x),g(x)±0 eP[x]，则有(x)=g(x)s(x)+r(x)其中 r(x)=0 或a(r(x)<a(g(x),r(x),s(x)e P[x)定理 2 ± g(x)(x)r(x)=0(xa)(x)f(a)=0带余除法可将(x)，g(x)的性质“遗传”到较低次的r(x)，也可将g(x)，r(x)的性质“反馈”到较高次的x)。边缘性质：若满足某个条件C的多项式存在，则一定存在一个次数最低的满足条件C的多项式。反过来，满足条件D的多项式次数不超过m，则这样的集中一定有一个次数最大的。根据带余除法和边缘性持，创造了求最大公因式的转相除法。可以证明最小公倍式也是存在的，还可以得到更多的其它结论。例1a是一个数，(x)eP[x]且(a)=0，则P[x]中存在唯一首项系数=1且次数最低的多项式ma(x):ma(a)=0证作：Sa=(g(x)e P[x]lg(a)=0)那么S，故S中存在一个次数最低且首系=1的多项式ma(x)，现设m(x)也是满足条件的多项式，那么a(m(x)=(ma(x)所以a(m(x)一(ma(x)<a (ma(x)令 r(x)=m(x)一ma(x)则r(a)=0，得r(x)=0，所以m(x)=ma(x)，唯一性证毕。推论：g(x)eSa，那么ma(x)lg(x)。证:g(x)=ma(x)(x)+r(x):r(a)=0 证。定理3α在P[x]中的ma(x)是不可约多项式，（用反证法）例2求9[x]中/2+/3，则x=5+2/6(x2 - 5)2 =(2/6)2即x适合x4-10x2+1，x4-10x2+1即为所求。1
1 第一讲 带余除法 定理 1（带余除法）∀ f(x), g(x)≠0 ∈P[x]，则有 f(x)=g(x)s(x)+r(x) 其中 r(x)=0 或∂ (r(x))＜∂ (g(x))，r(x)，s(x)∈P[x] 定理 2 g(x)|f(x)⇔ r(x)=0 (x－a)|f(x)⇔ f(a)=0 带余除法可将 f(x)，g(x)的性质“遗传”到较低次的 r(x)，也可将 g(x)，r(x)的性质“反馈” 到较高次的 f(x)。 边缘性质：若满足某个条件 C 的多项式存在，则一定存在一个次数最低的满足条件 C 的 多项式。反过来，满足条件 D 的多项式次数不超过 m，则这样的集中一定有一个次数最大的。 根据带余除法和边缘性持，创造了求最大公因式的辗转相除法。可以证明最小公倍式也 是存在的，还可以得到更多的其它结论。 例 1 a 是一个数，f(x)∈P[x]且 f(a)=0，则 P[x]中存在唯一首项系数=1 且次数最低的多项 式 ma(x)： ma(a)=0 证作： Sa={g(x)∈P[x]|g(a)=0} 那么 S≠φ ，故 S 中存在一个次数最低且首系=1 的多项式 ma(x)， 现设 m(x)也是满足条件的多项式，那么∂ (m(x))=∂ (ma(x)) 所以∂ (m(x)－(ma(x))＜∂ (ma(x)) 令 r(x)=m(x)－ma(x) 则 r(a)=0，得 r(x)=0，所以 m(x)=ma(x)，唯一性证毕。 推论：∀ g(x)∈Sa，那么 ma(x)|g(x)。 证： g(x)=ma(x)t(x)+r(x) r(a)=0 证。 定理 3 a 在 P[x]中的 ma(x)是不可约多项式，（用反证法） 例 2 求 Q[x]中 2 + 3 ，则 5 2 6 2 x = + 2 2 2 (x − 5) = (2 6) 即 x 适合 x 4 －10x 2 +1，x 4 －10x 2 +1 即为所求
解法二：先考虑2+关于Q的所有对称根：有它自己和/2-V，-V2+V，-V-V，于是(x-(/2+/3)x-~2+/3x+/2-/3)x+~2+V3)(x- 2) -3(x+ 2) -3)=(x2 -1)-2/2x(x2 -1)+2/2x)= xt -10x2 +1推广：Q[x)中/p+q的最小多项式为x4-2(p+q)x2+(p-q)，其中p与互素。例3求9[x]中，3+3/2的最小多项式解法—：设x=+/，则(x-)=2( +9x-2) - (3x* +3)3)即得：x-9x4-4x+27x2-36x-23-→+，则=1.0+0+1=0，所以/3+/2的对称根有解法二：0=-22=/3+/2,=3+0/2,=V3+023/2r4=-/3+#/2, rs=-/3+0/2, r=-/3+02/2故最小多项式为(x-r)(x-r)(x-r)(x-r)(x-r)(x-r)-[(x- ~3] -(2] [(x+ 3) -(/2)=(x + 9x -2)- 3(x2 +1)/3)(x3 +9x-2)+ 3(x2 +1)/3)=(x6-9x4-4x3 +27x2-36x-23)当自然数p，p为无理数时，p的所有对称根为，ps,e,，e"-!$2元+isin2,"=1，且其中=cos-nn(a-b)(α-be)(a-be")..(a-b."-)= a" -b"(*)用方法一虽简单，但对于诸如求V2+V3+V5+V7等的最小多项式时，就行不通，方法2
2 解法二：先考虑 2 + 3 关于 Q 的所有对称根：有它自己和 2 − 3 ， − 2 + 3 ， − 2 − 3 ，于是 (x − ( 2 + 3))(x − 2 + 3)(x + 2 − 3)(x + 2 + 3) = ( ) ( ) + − − 2 − 3 2 3 2 2 x x = (( 1) 2 2 )(( 1) 2 2 ) 10 1 2 2 4 2 x − − x x − + x = x − x + 推广：Q[x]中 p + q 的最小多项式为 4 2 2 x − 2( p + q)x + ( p − q) ，其中 p 与 q 互素。 例 3 求 Q[x]中， 3 3 + 2 的最小多项式 解法一：设 x= 3 3 + 2 ，则( ) 3 x − 3 =2 ( ) (( ) ) 2 2 2 3 x + 9x − 2 = 3x + 3 3 即得： 9 4 27 36 23 6 4 3 2 x − x − x + x − x − 解法二： i 2 3 2 1 ω = − + ，则 1, 1 0 3 2 ω = ω +ω + = ，所以 3 3 + 2 的对称根有 2 3 3 3 2 3 r1 = 3 + 2, r = 3 +ω 2, r = 3 +ω 2 2 3 6 3 5 3 r4 = − 3 + 2, r = − 3 +ω 2, r = − 3 +ω 2 故最小多项式为 ( )( )( )( )( )( ) 1 2 3 4 5 6 x − r x − r x − r x − r x − r x − r ( ) ( ) ( ) ( ) + − = − − 3 3 3 3 3 3 x 3 2 x 3 2 = (( 9 2) 3( 1) 3)(( 9 2) 3( 1) 3) 3 2 3 2 x + x − − x + x + x − + x + = ( 9 4 27 36 23) 6 4 3 2 x − x − x + x − x − 当自然数 p，n p 为无理数时，n p 的所有对称根为 n p ， ε n p ， 2 ε n p ，.， n−1 n pε 其中 , 1 2 sin 2 = cos + =n n i n ε π π ε ，且 n n n a − b a − b a − b a − b = a − b − ( )( )( ) ( ) 2 1 ε ε ε （∗） 用方法一虽简单，但对于诸如求 2 + 3 + 5 + 7 等的最小多项式时，就行不通，方法
二虽长，却是有步骤地可以求出任何P+p,+p，的最小多项式。任设AeP，f(x)=xE-A为A的特征多项式，由Hamilton-Caylay定理，f(A)=0,作Na= (g(x)e P[x] g(A)= 0)那么fa(x)eNA,NA中存在唯一的首系=1且次数最低的多项式mA(x)，称mA(x)为A的最小多项式。例 4 Vg(x)eN,则ma(x)Ig(x). 0(ma(x)≤nfa(x)例5令g.(x)=7U(,(a)，那么， g() m(n)定理4AePm，则A相似于对角矩阵的充要条件（之一）是gA(x)=mA(x)例6 证明x2+x+1|x3m +x3+ +x3p+2,(m,n,PeN)解法1x3-1=(x-1)(x2+x+1)=0(modx2+x+1)所以x3=1(modx2+x+1)于是x3m+x3+ +x3p+2=1+x+x2=0(modx2+x+1)解法 2 x3m +×3n+++x3p+2 =(x3m -1)+x(x3n -1)+x(3p -1)+(1+x+x)因为x3-1|x-1,x +x+1x3-1所以x?+×+1/x3m+x3n+1 +x3p+2例7设复数,2..m在Q上线性无关，f(x),f(x).(x),g(x)Q[x]，且g(x)在Q[x)中不可约，若对于每个g(x)的根α，有Z25.(a)=0证明：g(x)f(x)，=1,2,.,m证：设f(x)=g(x)h(x)+d(x)，其中a(d(x))<a(g(x)或d(x)=(:g(α)=0 J(a)-Za,d(a)=0i=li=13
3 二虽长，却是有步骤地可以求出任何 ns s n n 1 p1 + 2 p2 + p 的最小多项式。 任设 nxn A∈ P ， f A (x) = xE − A 为 A 的特征多项式，由Ηamilton－Caylay 定理，fA(A)=0， 作 NA = {g(x)∈ P[x]| g(A) = 0} 那么 A NA NA f (x)∈ , 中存在唯一的首系=1 且次数最低的多项式 mA(x)，称 mA(x)为 A 的最小多 项式。 例 4 ∀g(x)∈ NA则mA (x) | g(x). ∂(mA (x) ) ≤ n 例 5 令 ( ( ), ( )) ( ) ( ) f x f x f x g x A A A A ′ = ，那么， g (x) | m (x) A A 定理 4 nxn A∈ P ，则 A 相似于对角矩阵的充要条件（之一）是 gA(x)=mA(x) 例 6 证明 1| ,( , , ) 2 3 3 1 3 2 x x x x x m n P N m n p + + + + ∈ + + 解法 1 1 ( 1)( 1) 0 (mod 1) 3 2 2 x − = x − x + x + ≡ x + x + 所以 1 (mod 1) 3 2 x = x + x + 于是 1 0 (mod 1) 3 3 1 3 2 2 2 + + = + + ≡ + + + + x x x x x x x m n p 解法 2 3 3 +1 3 +2 + + m n p x x x 3 3 23 2 ( 1) ( 1) ( 1) (1 ) mn p x xx x x x x = − + − + − + ++ 因为 33 2 3 1| 1, 1| 1 k x x xx x − − ++ − 所以 2 3 31 3 2 1| mn p xx x x x + + ++ + + 例 7 设复数λ λ λ m , , 1 2 在 Q 上线性无关， ( ), ( ) ( ), ( ) [ ] 1 2 f x f x f x g x Q x m ∈ ，且 g(x)在 Q[x] 中不可约，若对于每个 g(x)的根α ，有 ( ) 0 1 ∑ = = m i i i λ f α 证明：g(x)|fi(x)，i=1,2,.,m 证：设 fi(x)=g(x)hi(x)+di(x)，其中∂ (di(x))＜∂ (g(x))或 di(x)=0 g(α )=0 ∴ ∑ ∑ = = = = m i i i m i i fi d 1 1 λ (α) λ (α) 0