第八章欧氏空间8.1向量的内积8.2正交基8.3正交变换8.4对称变换和对称矩阵课外学习9：实现正交化过程的新方法
第八章 欧氏空间 8.3正交变换 8.4对称变换和对称矩阵 8.1向量的内积 课外学习9：实现正交化过程的新方法 8.2正交基
在几何学中（编者按：在数学中），没有专门为国王设置的捷径。-欧几里德（Euc1id，约前325一约前265）
在几何学中（编者按:在数学中），没有专门 为国王设置的捷径。 -欧几里德(Euclid ,约前325 - 约前265)
8.1向量的内积一、内容分布8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质二、重点、难点1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念2.不等式《≤《的灵活运用
8.1向量的内积 一、内容分布 8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角 8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质 二、重点、难点 1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念; 2.不等式〈ξ,η〉 2 ≤ 〈ξ, ξ 〉〈η,η〉 的灵活运用. 8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义
8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义定义1设V是实数域R上一个向量空间.如果对于V中任意一对向量n.有一个确定的记作.n的实数与它们对应，叫做向量与的内积（或标量积），并且下列条件被满足：(i)<5, n)=<n,);(ii)<5+n,)=<5, 9)+(n,9)(iii)<ac,n)=as,n)(iv）当0时，《)>0；这里，，是V的任意向量，a是任意实数，那么V叫做对于这个内积来说的一个欧几里得空间（简称欧氏空间）
8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 定义1 设V是实数域R上一个向量空间. 如果对于V中任意一对 向量ξ,η,有一个确定的记作〈ξ,η〉的实数与它们对应，叫做向量 ξ与η的内积(或标量积)，并且下列条件被满足： (i) 〈ξ,η〉= 〈η,ξ〉; 这里ξ,η, ζ是V的任意向量，a是任意实数，那么V叫做对于这 个内积来说的一个欧几里得空间（简称欧氏空间）. (ii) 〈ξ+η,ζ〉= 〈ξ,ζ〉+〈η,ζ〉 (iii) 〈aξ,η〉= a〈ξ,η〉 (iv) 当ξ≠0时, 〈ξ,ξ〉>0；
例1在Rn里，对于任意两个向量-(x, X2, ., xn),n=(1, y2, ", yn)规定(5n)=xiyi+xy2+...+xn容易验证.关于内积的公理被满足，因而Rn对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间例2在Rn里，对于任意两个向量-(X,X2,.,Xn),n=(V1,y2,.,yn)规定《5n)=xi+2xy2+...+nxyn不难验证，这样Rn也作成一个欧氏空间以后说到Rn时，永远指的是对于例1的内积所做成的个欧氏空间
容易验证,关于内积的公理被满足,因而Rn对于这样定义的内 积来说作成一个欧氏空间. ξ=(x1 , x2 , ⋯, xn ),η=(y1 , y2 , ⋯, yn ) 规定 〈ξ,η〉=x1 y1+ x2 y2+⋯ +xn yn 例1 在Rn里,对于任意两个向量 例2 在Rn里,对于任意两个向量 ξ=(x1 , x2 , ⋯, xn ),η=(y1 , y2 , ⋯, yn ) 规定 〈ξ,η〉=x1 y1+2x2 y2+ ⋯+nxn yn 不难验证,这样Rn也作成一个欧氏空间. 以后说到Rn时,永远指的是对于例1的内积所做成的个欧氏空间