7.2线性变换的运算一、内容分布7.2.1线性变换的加法和数乘7.2.2线性变换的积7.2.3线性变换的多项式二、重点、难点会做线性变换的运算
7.2 线性变换的运算 一、内容分布 7.2.1 线性变换的加法和数乘 7.2.2 线性变换的积 二、重点、难点 会做线性变换的运算 7.2.3 线性变换的多项式
设V是数域F上一个向量空间，V到自身的一个线性变换叫做V的一个线性变换我们用L（VW表示向量空间V的一切线性变换所成的集合设,TEL(V).对于V中每一个向量，令o()+）与它对应，这样得到V到自身的一个映射，叫做?与t的和，记作?+to+t:o()+t()容易证明，V的线性变换与t的和o+t也是V的一个线性变换
设V是数域F上一个向量空间,V到自身的一个线性变换叫 做V的一个线性变换. 设σ,τ∈L(V). 对于V中每一个向量ξ,令σ(ξ)+ τ(ξ)与它对应, 我们用L(V)表示向量空间V的一切线性变换所成的集合. 容易证明, V的线性变换σ与τ的和σ+τ也是V的一个线性变换. σ+τ :ξ ⟼σ(ξ)+τ(ξ) . 这样得到V到自身的一个映射,叫做σ与τ的和,记作σ+τ
线性变换的加法满足交换律和结合律.容易证明，对于任意p,,EL(W),以下等式成立：(l)o+t=t+o,(2) (p+o)+t = p+(o+t)令0表示V到自身的零映射，称为V的零变换，它显然具有以下性质：对于任意EL(V都有(3)o+0=0+;设oEL(V，的负变换-o指的是V到V的映射-0:5-0().容易证明，-0也是的线性变换，并且(4) o+(-0)=0
线性变换的加法满足交换律和结合律.容易证明,对于 任意ρ,σ,τ ∈L(V),以下等式成立: (1) σ+τ = τ+σ; (2) (ρ+σ)+τ = ρ+(σ+τ). 令θ表示V到自身的零映射,称为V的零变换,它显然具有 以下性质:对于任意σ∈L(V)都有 (3) σ+θ =θ+σ ; 设σ∈L(V), σ的负变换-σ指的是V到V的映射 -σ :ξ ⟼ -σ(ξ) . 容易证明, -σ也是的线性变换,并且 (4) σ+(-σ)=θ
我们定义α与t的差o-T=o+(-t）.这样，在L(V）里，加法的逆运算一减法可以施行设kEFoEL(W.对于每一EV，令ko（）与它对应.这样就得到V到V的一个映射，记作ko.容易证明ko也是V的一个线性变换容易证明，下列算律成立：(5)k(o+t)=ko+kt(6)(k+)o=ko+lo(7)(kl)=k(lo)(8) 1g = 0.这里lE)
我们定义σ与τ的差σ-τ =σ+(-τ). 这样,在L(V)里,加法的逆 运算——减法可以施行. 设k∈F,σ∈L(V).对于每一ξ∈V ,令kσ(ξ)与它对应.这样就 得到V到V的一个映射,记作kσ. 容易证明kσ也是V的一个线 性变换. 容易证明, 下列算律成立: (5) k(σ+τ )= kσ+kτ. (6) (k+l)σ = kσ+lσ. (7) (kl) σ = k(lσ). (8) 1σ = σ. 这里k,l∈F, σ,τ∈L(V)
定理7.2.1LV)对于加法和标量与线性变换的乘法来说做成数域F上一个向量空间
定理7.2.1 L(V)对于加法和标量与线性变换的乘法来说 做成数域F上一个向量空间