7.3线性变换和矩阵一、内容分布7.3.1线性变换的矩阵7.3.2坐标变换7.3.3矩阵唯一确定线性变换7.3.4线性变换在不同基下的矩阵一相似矩阵二、重点、难点线性变换和矩阵之间的相互转换，坐标变换，相似矩阵
7.3 线性变换和矩阵 一、内容分布 7.3.1 线性变换的矩阵 7.3.3 矩阵唯一确定线性变换 二、重点、难点 线性变换和矩阵之间的相互转换, 坐标变换, 相似矩阵 7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵—相似矩阵 7.3.2 坐标变换
7.3.1．线性变换的矩阵设V是数域上F一个n维向量空间，令?是V的一个线性变换，取定V的一个基ai,a2，,an.Ao(a)=aiia+a2ia,+...+anian0(a2)= a12a,+a22a2+ ...+an2an（2）o(an)= aina,+a2na+...+annan这里ay,a2j,,am,是o(a,)关于基ai,a2,,a,的坐标
7.3.1 线性变换的矩阵 设V是数域上F一个n维向量空间,令σ是V的一个线性 变换,取定V的一个基α1,α2 , ⋯, αn . σ(α1)= a11α1+a21α2+ ⋯+an1αn σ(α2)= a12α1+a22α2+ ⋯+an2αn σ(αn)= a1nα1+a2nα2+ ⋯+annαn ⋯⋯⋯⋯ 这里a1j ,a2j , ⋯,anj是σ(αj )关于基α1,α2 , ⋯, αn的坐标. 令 (2)
aina12a21a22a2nD=anlaman2n阶矩阵A就叫做线性变换关于基(αi,α2，"an的矩阵.矩阵A的第列元素就是(α）关于基（αi,α2，an的坐标.这样取定F上n维向量空间V的一个基之后，对于V的每一个线性变换有唯一确定的F上n阶矩阵与它对应我们把等式（2）写成矩阵的形式(3)(o(ai), 0(α2), ", 0(an) =(αi, a2, "", an)A
n阶矩阵A就叫做线性变换σ关于基{α1,α2 , ⋯, αn }的矩阵.矩 阵A的第j列元素就是σ(αj )关于基{α1,α2 , ⋯, αn }的坐标. 这样,取定F上n维向量空间V的一个基之后,对于V的每一个 线性变换,有唯一确定的F上n阶矩阵与它对应. 令 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn aa a aa a A aa a = 我们把等式(2)写成矩阵的形式. (3) (σ(α1), σ(α2), ⋯, σ(αn)) =(α1, α2, ⋯, αn)A
定理7.3.1设V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个线性变换，而关于基{α1,α2，,α的矩阵是aiiaina12·a21aana22A=anlan20如果V中向量关于这个基的坐标是（xx2，x），而（)的坐标是(yi,y2，…,yn),那么Xiyiy2X2(5)=A·?y吉
定理7.3.1 设V 是数域F上一个n维向量空间,σ是V的一个 线性变换,而 σ关于基{α1,α2 , ⋯, αn}的矩阵是 如果V中向量ξ关于这个基的坐标是(x1, x2 , ⋯, xn),而σ(ξ) 的坐标是(y1, y2 , ⋯, yn),那么 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn aa a aa a A aa a = 1 1 2 2 n n y x y x A y x = (5)
引理7.3.1设V是数域F上一个n维向量空间，（αi,α2，…,an是V的一个基，那么对于V中任意n个向量β2，β，有且仅有V的一个线性变换?，使得：o(a.)-β,i-1,2..,n设=xia+x2a2+..+xnan，规定o()=xB,+xβ2+...+xβn
引理7.3.1 设V是数域F上一个n 维向量空间 , {α1,α2 , ⋯, αn} 是V的一个基,那么对于V 中任意n个向量β1,β2 , ⋯, βn ,有且仅有 V 的一个线性变换σ ,使得: σ(αi )=βi ，i=1,2⋯,n 设ξ =x1α1+ x2α2+⋯+ xnαn , 规定 σ(ξ)=x1β1+x2β2+ ⋯ +xnβn