9.3正定二次型一、内容分布9.3.1正定二次型与正定矩阵9.3.2正定二次型的判别、教学目的1：掌握正定二次型、负定二次型、主子式的概念2.掌握实二次型正定的判定定理三、重点、难点实二次型正定的判定
9.3正定二次型 一、内容分布 9.3.2 正定二次型的判别 三、重点、难点 实二次型正定的判定 9.3.1正定二次型与正定矩阵 二、教学目的 1．掌握正定二次型、负定二次型、主子式的概念. 2．掌握实二次型正定的判定定理
9.3.1正定二次型与正定矩阵R上一个元二次型g(x,x2x）可以看成定义在实数域上n个变量的实函数如果对于变量x，x…x的每一组不全为零的值函数值(x,x2x）都是正数，那么就称g(xX2…,x）是一个正定二次型类似地，如果对于变量xx，…x的每一组不全为零的值，函数值g(x1,X2,…x）都是负数，那么就称q(x1,x2,…xn）是一个负定二次型
9.3.1 正定二次型与正定矩阵 R上一个元二次型q(x1, x2, ⋯, xn)可以看成定义在实数域上n 个变量的实函数.如果对于变量x1, x2, ⋯, xn的每一组不全为零的 值,函数值q(x1, x2, ⋯, xn)都是正数,那么就称q(x1, x2, ⋯, xn)是一个 正定二次型. 类似地,如果对于变量x1, x2, ⋯, xn的每一组不全为零的值,函 数值q(x1, x2, ⋯, xn)都是负数,那么就称q(x1, x2, ⋯, xn)是一个负定 二次型
9.3.2正定二次型的判别定理9.3.1实数域上二次型q(x，x，，x）是正定的充要条件是它的秩和符号差都等于n.q(xi,x2,…，xn）是负定的充要条件是它的秩等于n.符号差等于-n证我们只需对正定的情形证明.设A是二次型gx，xx）的矩阵如果A的秩和符号差都等于n，那么存在实可矩阵P，使得PTAP=I.XJ1y2X2P三...xyAV
PTAP=I . 令 定理9.3.1 实数域上二次型q(x1, x2, ⋯, xn)是正定的充要条件 是它的秩和符号差都等于n. q(x1, x2, ⋯, xn)是负定的充要条件是 它的秩等于n,符号差等于–n. 证 我们只需对正定的情形证明.设A是二次型q(x1, x2, ⋯, xn)的矩 阵,如果A的秩和符号差都等于n,那么存在实可逆矩阵P,使得 1 1 2 2 (1) n n x y x y P x y = 9.3.2 正定二次型的判别
那么JiXy2X2=(i,y2,"",n)PTAPq(xi,X2,",x)=(x,X2,.,x)A.VJiy2=片+片++y=(1, y2,", yn,)由1)可以看出x,x2,…不全为零时，y,y2…y,也不全为零因此，对于任意不全为零的实数x，x2…，x，都有
1 2 1 2 1 2 (, , , ) (, , , ) n n n x x qx x x x x x A x = 那么 1 T 2 1 2 (, , , ) n n y y y y y P AP y = 1 2 1 2 (, , , ) n n y y yy yI y = 22 2 1 2 n = + ++ yy y 由(1)可以看出x1, x2, ⋯, xn不全为零时, y1, y2, ⋯, yn也不全为零. 因此,对于任意不全为零的实数x1, x2, ⋯, xn ,都有
q(x1, X2, , xn)=y2+y22+..+y2>0反过来，如果r<n或r=n而p<n，不论哪一种情形都有p<n.因此存在实可逆矩阵P，使得PTAP=O福,o≤p<n福取一组实数y, 2…,n，使得y1=2=…=p=0, p+1…,yn不全为零，并且令Xyi专J2=P...古V
q(x1, x2, ⋯, xn)= y1 2+y2 2+⋯+ yn 2 >0 反过来,如果r <n或r =n而p <n,不论哪一种情形都有p <n.因 此存在实可逆矩阵P,使得 取一组 实数y1, y2, ⋯, yn ,使得y1=y2= ⋯= yp =0, yp+1, ⋯, yn不全 为零,并且令 T ,0 p r p I OO P AP O I O p n OOO − = − ≤< 1 1 2 2 n n x y x y P x y =