《高等代数》课程教学资源（试卷习题）2018年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。1.下列函数中不可导的是（）。A. f(x)=xsin(x)B. f(x) = xsin(/x)c. f(x) = cosxD. f(x)= cos( /风)【答案】D【解析】【解析】A可导：[x sin (Ix)x sin (Ix)x·sinxx-sinx lim=0, f(0)= lim=0f(0) = limlim0x1→0xxX→0*xB可导：[a/sin [x/sin x-sinx-x·sin -xlim=0, f(0) = limf'(0) = limlim01~0xxxx→0*x3→0~-0C可导：11Pcos|xl-1cos|x|-12f:(0) = lim0lim0,f'(o)=limlim1~01→0x→0*xx-0xxxD不可导：11cos /x-1V/xj-1cOsy2f(0) = limlimf'(o)limlim220xx→0"xx-0xx→0*xf(0) + f'(0)2.过点（1,0,0)与(0,1,0)且与z=x2+y2相切的平面方程为A.2=0与x+y-z=1B.z=0与2x+2y-z=2C. y=x与x+y-z=1D.y=x与2x+2y-z=2【答案】B【解析】因为平面过点(1,0,0)与(0,1,0)，故C、D排除

2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. 1.下列函数中不可导的是（ ）。 A. f x x x ( ) sin( )  B. f x x x ( ) sin( )  C. f x x ( ) cos  D. f x x ( ) cos( )  【答案】D 【解析】【解析】 A 可导：         - 0 0 0 0 sin sin sin sin 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x x x x x f f x x x x                    B 可导： -     0 0 0 0 sin sin sin sin 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x x x x x f f x x x x                      C 可导：     2 2 - 0 0 0 0 1 1 cos -1 cos -1 2 2 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x f f x x x x                    D 不可导：           - 0 0 0 0 - 1 1 - cos -1 1 1 cos -1 2 2 0 lim lim , 0 lim lim - 2 2 0 0 x x x x x x x x f f x x x x f f                        2.过点 (1,0,0) 与 (0,1,0) 且与 2 2 z x y   相切的平面方程为 A. z  0 与 x y z   1 B. z  0 与 2 2 2 x y z    C. y x  与 x y z   1 D. y x  与 2 2 2 x y z    【答案】B 【解析】因为平面过点 (1,0,0) 与 (0,1,0) ，故 C、D 排除

曲面==x2+y"的法向量为(2x,2y,-1),因为平面过(1,0,0),则平面方程为2x(X-1)+2yY-Z=0，又因为平面过(0,1,0)，故x=y由此，取特殊值：令x-1,则法向量为(2,2,-1)，故B选项正确。2n+3Z(-1)"3.(2n +1)!n=0A. sinl+cos1B.2sin1+coslC.2sinl+2cos1D.3sin1+2cos1【答案】B.【解析】2n+32n+S(x)=(2n+1)!S(x)=2(-1)" 2n+3,(2n)!x2n+3Z(-1)(2n-1)*(2n)!n=1=0=-xsinx+3cosxS(x)= xcosx+2sin x2n+3Z(-1)"= S(1)= cos1+2sinl(2n+1)!7=0r (1+x)2d, N=J+d,K=4..M=(1+cosx)dx,则M,N,K大小关系为21+x22erA.M>N>KB.M>K>NC.K>M>ND.K>N>M【答案】C【解析】M=i(+_2x)-)dx = [ ldx1+x[-号,号时,+V/cosx≥1,所以K> M XE122令f(x)=1+x-e*,f(0)=0, f(x)=1-e元0.三时，(x)0当xe当xel元,0时，f(x)>022元元时，有(x)≤0，从可有+≤1，由比较定理得N<M,故选C所以xE222

2 2 (2 , 2 , 1), (1,0,0) 2 ( 1) 2 0 (0,1,0) z x y x y x X yY Z x y         曲面 的法向量为 因为平面过 ， 则平面方程为 ，又因为平面过 ，故 由此，取特殊值；令 x=1,则法向量为 (2,2, 1)  ，故 B 选项正确。 3. 0 2 3 ( 1) (2 1)! n n n n        A.sin1 cos1  B. 2sin1 cos1  C. 2sin1 2cos1  D. 3sin1 2cos1  【答案】B. 【解析】                             2 1 0 2 0 2 2 1 0 0 2 3 1 2 1 ! 2 3 1 2 ! 1 1 1 3 1 2 1 ! 2 ! sin 3cos cos 2sin 2 3 1 1 cos1 2sin1 2 1 ! n n n n n n n n n n n n n n n S x x n n S x x n x x n n x x x S x x x x n S n                                         4. .     2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 , , 1 cos , 1                    x x x M dx N dx K x dx x e 则 M N K , , 大小关系为 A. M N K   B. M K N   C. K M N   D. K N M   【答案】C 【解析】 2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 1 , 1 cos 1, 2 2 ( ) 1 , (0) 0, ( ) 1 0, ( ) 0; ,0 ( ) 0 2 2 1 - , ( ) 0 1 N<M, C 2 2 x x x x M dx dx x x x K M f x x e f f x e x f x x f x x x f x e                                                                  时， 所以 令 当 时， 当 时， 所以 时，有 ，从可有 ，由比较定理得 故选

(110)5.下列矩阵中，与矩阵011相似的为001D110100【答案】A【解析】方法一：排除法[110特征值为1,1,1，r(E-Q)=2令0=|01001101001O2选项A：令A：A的特征值为1,1,l，r(E-A)=rLo0LO00[o1001000选项B：令B=B的特征值为1,1,1，r(E-B)=r-1Lo0000O11-1/选项C：令C0000C的特征值为1,1,1，r(E-C)=r0Lo000[o10-00选项B：令D=0=D的特征值为1,1,1，r(E-D)=rC0010001若矩阵Q与J相似，则矩阵E-Q与E-J相似，从而r（E-O)=r（E-J)，故选（A)方法二：定义法（利用初等矩阵的性质）[1 1 0]1-1 00令P=01 0010福[001]00001

5. 下列矩阵中，与矩阵 1 1 0 0 1 1 0 0 1           相似的为 A. 1 1 1 0 1 1 0 0 1            B. 1 0 1 0 1 1 0 0 1            C. 1 1 1 0 1 0 0 0 1            D. 1 0 1 0 1 0 0 0 1            【答案】A 【解析】 方法一：排除法 令 1 1 0 0 1 1 0 0 1 Q            ，特征值为 1,1,1，r E Q     2 选项 A：令 1 1 1 0 1 1 0 0 1 A             ， A 的特征值为 1,1,1，   0 1 1 0 0 1 2 0 0 0 r E A r                选项 B：令 1 0 1 0 1 1 0 0 1 B             ， B 的特征值为 1,1,1，   0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 r E B r               选项 C：令 1 1 1 0 1 0 0 0 1 C             ，C 的特征值为 1,1,1，   0 1 1 0 0 0 1 000 r E C r               选项 B：令 1 0 1 0 1 0 0 0 1 D             ， D 的特征值为 1,1,1，   0 0 1 0 0 0 1 000 r E D r              若矩阵 Q与 J 相似，则矩阵 E Q 与 E J  相似，从而 r E Q r E J        ，故选（A） 方法二：定义法（利用初等矩阵的性质） 令 1 1 0 0 1 0 0 0 1 P            ， 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 P              ， 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 P P                       

10所以相似，故选（A)0006.设A,B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，（XY)表示分块矩阵，则A.r(A AB)=r(A)B.r(A BA)=r(A)D.r(A B)=r(AT B').C.r(A B)=max(r(A), r(B)).【答案】A【解析】根据矩阵的运算性质，r(E,B)=n=r(A,AB)=r[A(E,B)]=r(A),故A正确(0 0)070011,所以r(A BA)=r，则BA=若A=110r(A)=1.排除 B.(1200(1200),那么r(A B)=r(若A：4)=2,r(4)=1,r(B)=1,B-7(34)0034(o0所以C排除1000, 则 r(A B")=r(o 8 。 )-1, r(4.B)=r(Q若AB0000000100=2所以排除D.010(o7.设f(x)为某分布的概率密度函数，f(1+x)=f(1-x)，[f(x)dx=0.6，则P(X <0) =A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6【答案】A.【解析】特殊值法：由已知可将f(x)看成随机变量XN(1,α2）的概率密度，根据正态分布的对称性，P(X<0)=0.2

所以 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1                      与 相似，故选（A） 6.设 AB, 为 n 阶矩阵，记 r X( ) 为矩阵 X 的秩，( ) X Y 表示分块矩阵，则 A. r A AB r A ( ) ( ).  B. r A BA r A ( ) ( ).  C. r A B r A r B ( ) max{ ( ) ( )}.  ， D. ( ) ( ). T T r A B r A B  【答案】A. 【解析】根据矩阵的运算性质， r E B n r A AB r A E B r A ( , ) ( , ) [ ( , )] ( )     ,故 A 正确. 若 0 0 0 1 A ,B 1 1 1 0               ，则 1 1 0 0 BA        ，所以 0 0 1 1 ( ) 2, 1 1 0 0 r A BA r        r A( ) 1.  排除 B.       1 2 0 0 1 2 0 0 A ,B , 2, 1, 1, 0 0 3 4 0 0 3 4 C . r A B r r A r B                         若 那么 所以 排除 若 1 0 0 0 A ,B 0 0 1 0               ， 则 1 0 0 1 ( ) 1 0000 T T r A B r        ，   , T T A r A B r B          1 0 0 0 2 0 1 0 0 r               所以排除 D. 7. 设 f x( ) 为 某 分 布 的 概 率 密 度 函 数 ， f x f x (1 ) (1 )    ，   2 0 f x dx  0.6  ， 则 P X{ 0}   A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 【答案】A. 【解析】特殊值法：由已知可将 f x( ) 看成随机变量   2 X N 1, 的概率密度，根据正态分 布的对称性， P X    0 0.2

8.给定总体X~N(u,α），α已知，给定样本X,X,..",X，对总体均值u进行检验，令H=H，则A.若显著性水α=0.05时拒绝H。，则α=0.01时也拒绝H。B.若显著性水α=0.05时接受H，则α=0.01时拒绝H。C.若显著性水α=0.05时拒绝H。，则α=0.01时接受H。D.若显著性水α=0.05时接受H。，则α=0.01时也接受H。【答案】D【解析】当α=0.05时，拒绝域为≥，即≥0025(1)2(2)当α=0.01时，接受域为，即20.0052（1）包含（2），所以选项D正确二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上1-tanx、)sinkx9. lim(=e，则k=1+tanx【答案】k=-2【解析】I-tanxIn-tan xI+tanxlim(sinkx=limexpe,sinkx1+tanxx-→0-2tanx1-tanx)In(-2tanx-21+tanx=1→ lim I+ tan x = lim=limkkxr0 kx(1+ tan x)x→0sinkxx→0=k=-210.设函数f(x)具有2阶连续导数，若曲线y=f(x)过点(0,0)且与曲线y=2*在点(1,2)处相切，(x)dx=【答案】2ln2-2【解析】

8. 给定总体 2 X N~ ( , )   ， 2  已知，给定样本 1 2 , , , X X X n ，对总体均值  进行检验， 令 0 0 1 0 H H : , :       ，则 A. 若显著性水   0.05 时拒绝 H0 ，则   0.01 时也拒绝 H0 B. 若显著性水   0.05 时接受 H0 ，则   0.01 时拒绝 H0 C. 若显著性水   0.05 时拒绝 H0 ，则   0.01 时接受 H0 D. 若显著性水   0.05 时接受 H0 ，则   0.01 时也接受 H0 【答案】D 【解析】当   0.05 时，拒绝域为 2 z z   ，即 z z  0.025   1 当   0.01 时，接受域为 2 z z   ，即 z z  0.005   2 （1）包含（2），所以选项 D 正确. 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. 9. 1 sin 0 1 tan lim 1 tan kx x x e  x    ( ) ，则 k _. 【答案】 k 2 . 【解析】 1 sin 0 0 0 0 0 1 tan ln( ) 1 tan 1 tan lim limexp , 1 tan sin 1 tan 2 tan ln( ) 1 tan 1 tan 2 tan 2 lim 1 lim lim 1 sin (1 tan ) 2. kx x x x x x x x x e x kx x x x x x kx kx kx x k k                                      ( ) 10.设函数 f x  具有 2 阶连续导数，若曲线 y f x  ( ) 过点 (0,0) 且与曲线 2 x y  在点 (1,2) 处相切，则 1 '' 0 xf x dx ( )   _. 【答案】 2ln 2 2  【解析】