8.3正交变换一、内容分布8.3.1正交变换的定义8.3.2正交变换的等价条件8.3.3V，V的正交变换的类型二、教学目的1.掌握并会用正交变换的概念及几个等价条件2.掌握V.V.的正交变换的全部类型3.掌握并会用正交矩阵的某些性质三、重点难点正交变换的概念及几个等价条件
8.3 正交变换 一、内容分布 8.3.2 正交变换的等价条件 8.3.1 正交变换的定义 1．掌握并会用正交变换的概念及几个等价条件． 3．掌握并会用正交矩阵的某些性质． 二、教学目的 2．掌握V2,V3的正交变换的全部类型． 三、重点难点 8.3.3 V2 ,V3的正交变换的类型． 正交变换的概念及几个等价条件．
8.3.1正交变换的定义定义1欧氏空间V的一个线性变换?叫做一个正交变换，如果对于任意EV都有1o(1].例1在V里，把每一向量旋转一个角?的线性变换是V.的一个正交变换例2令H是空间V，里过原点的一个平面.对于每一向量EV3，令对于H的镜面反射与它对应.一是V的一个正交变换
8.3.1 正交变换的定义 定义1 欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个正交变换，如果 对于任意ξ∈V.都有 |σ(ξ)|=|ξ| . 例2 令H是空间V3里过原点的一个平面.对于每一向量ξ∈V3， 令ξ对于H的镜面反射ξ′与它对应.σ:ξ→ξ′是V3的一个正交变换. 例1 在V2里,把每一向量旋转一个角ϕ的线性变换是V2的一个正 交变换
8.3.2正交变换的等价条件定理8.3.1欧氏空间V的一个线性变换?是正交变换的充分且必要条件是：对于V中任意向量(1)<o(), 0())=(,n)证明月条件的充分性是明显的。因为(1)中取=1，就得到，从而反过来，设是一个正交变换，那么对于EV，我们有0(+)12=+2
8.3.2 正交变换的等价条件 定理8.3.1 欧氏空间V 的一个线性变换σ是正交变换的充分且 必要条件是：对于V 中任意向量ξ,η， (1) 〈σ(ξ), σ(η)〉=〈ξ,η〉. 证明 条件的充分性是明显的. 因为(1)中取ξ =η，就得到 |σ(ξ)|2=|ξ| 2 ，从而|σ(ξ)|=|ξ|. 反过来，设σ是一个正交变换，那么对于ξ,η∈V，我们有 |σ(ξ+η)|2=|ξ+η| 2
然而o(+n)/2=(o(+n), o(+n) ) =(o()+o(), ()+o(n) )=(o() ,0() ) +(o(n),0(n)) +2(o() ,0(n) )15+n=(5+n,+n)=5,)+<n)+2(n)由于(o(),o())=(,)，<o(n),o(n))=(n,n),比较上面两个等式就得到(o(), 0 (n))=(5,n)
然而 由于〈σ(ξ) ,σ(ξ)〉 =〈ξ ,ξ〉， 〈σ(η) ,σ(η) 〉 =〈η ,η〉 ,比较上面两个等 式就得到 |σ(ξ+η)|2=〈σ(ξ+η), σ(ξ+η) 〉 =〈σ(ξ)+σ(η), σ(ξ)+σ(η) 〉 =〈σ(ξ) ,σ(ξ) 〉 + 〈σ(η) ,σ(η)〉 + 2〈σ(ξ) ,σ(η) 〉 |ξ+η| 2=〈ξ+η, ξ+η〉 =〈ξ,ξ〉 + 〈η ,η〉 + 2〈ξ ,η〉 〈σ(ξ), σ (η)〉=〈ξ,η〉
定理8.3.2设V是一个n维欧氏空间，g是V的一个线性变换.如果是正交变换，那么把V的任意一个规范正交基仍旧变成V的一个规范正交基.反过来，如果把V的某一个规范正交基仍旧变成V的一个规范正交基，那么是V的一个正交变换证设是V的一个正交变换，令{1,?2,…?是V的任意一个规范正交基，由定理8.3.1，J1,i=j((2), 0())=(21,2))=[o,ij因此，(o(2),(2)())是V的一个规范正交基反过来，假设V的一个线性变换把V的某一个规范正交基(12)变成规范正交基(o(21),(22),0()).令
定理8.3.2 设V是一个n维欧氏空间, σ是V的一个线性变换.如 果σ是正交变换,那么σ把V的任意一个规范正交基仍旧变成V的 一个规范正交基.反过来,如果σ把V的某一个规范正交基仍旧 变成V的一个规范正交基，那么σ是V的一个正交变换. 证 设σ是V的一个正交变换,令{γ1, γ2, ⋯, γn}是V的任意一个规 范正交基,由定理8.3.1, 〈σ(γi ), σ(γj )〉=〈γi ,γj 〉= 1 0 i j i j = ≠ ， ， 因此,{σ(γ1), σ(γ2), ⋯, σ(γn)}是V的一个规范正交基. 反过来,假设V的一个线性变换σ把V的某一个规范正交基 {γ1, γ2, ⋯, γn}变成规范正交基{σ(γ1), σ(γ2), ⋯, σ(γn)}.令