2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题（万学·海文提供）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。x-arctan xC）(1)已知limc，其中k，c为常数，且c≠0，则xk1-1-1(B) k=2,c=(D)(A) k=2,c =(C) k=3,c :2321k=3.c=3【答案】D【解析】因为c≠011x2x2x-arctanx洛11+x2c=limlim-limx=lim=lim→0 kxk-1xks0 kxk-1$0 kxk-1 (1+ x2)k x-11所以3-k=0.k=3.c，故选Dk3((2）曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在点(0,1-1)的切平面方程为)(A) x-y+z=-2(B) x+y+z=0 (C) x-2y+z=-3(D) x-y-z=0【答案】A【解析】曲面在点(0,1,-1)处的法向量为n=(F*,F,F)(o.1-) =(2x-y sin (ay)+1,-r sin (ay)+z,y)(0.1-1) =(1,-1,1)故曲面在点(0,1,-1)处的切面方程为1-(x-0)-(y-1)+(z+1)=0,即x-y+z=-2，选A(3)设f(x)=x,b, =2["f(x)sin nxdx(n=1,2,..)令 s(x)=b, sinn元x ,则n=19s(4()(0)_3()31(C) _1(B) 4444【答案】C
2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 （万学·海文提供） 一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中 下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题 ,只有一个选项符合题 目要求的,请将所选项前的字母填在 ,请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. (1)已知 0 -arctan lim = k x x x c → x ，其中k c, 为常数，且c ≠ 0 ，则 （ ） (A) 1 =2, 2 k c − = (B) 1 =2, = 2 k c (C) 1 =3, 3 k c − = (D) 1 =3, = 3 k c 【答案】D 【解析】因为c ≠ 0 2 2 2 3 1 1 2 1 0 0 0 0 0 1 1- arctan 1+ 1 lim lim lim lim lim (1 ) k k k k k x x x x x x x x x x c x x kx kx x kx k − → → → → → − − − − = = = = = + 洛 1 1 3 0, 3, , 3 k k c k 所以 故选 − = = = = D (2) 曲面 2 x xy yz x + + + = cos( ) 0 在点(0,1, 1− ) 的切平面方程为 （ ） （A) x y z − + = −2 (B) x y z + + = 0 (C) x y z − + = − 2 3 (D) x y z − − = 0 【答案】A 【解析】曲面在点(0,1,-1) 处的法向量为 =( , , ) x y z (0,1,-1) n F F F → ′ ′ ′ =(2 - sin ( )+1,- sin ( )+ , ) (0,1,-1) x y xy x xy z y =(1,-1,1) 故曲面在点(0,1,-1) 处的切面方程为 1 ( -0)-( -1)+( +1)=0, ⋅ x y z 即 x y z − + = −2，选 A (3) 设 1 0 1 ( ) , 2 ( )sin ( 1, 2, ) 2 n f x x b f x n xdx n = − = = π ∫ L . 令 1 ( ) sin n n s x b n x ∞ = = π ∑ , 则 9 ( ) 4 s − = （ ） (A) 3 4 (B) 1 4 (C) 1 4 − (D) 3 4 − 【答案】C
0.2【解析】f(x)=21XE院x-22将f(x）作奇延拓，得周期函数F(x），周期T=29处连续，从而则F(x)在点xA99S(-4444故选C(4）设L：x2+y2=1,：x2+y=2,L：x2+2y2=2,L:2x2+y2=2为四条逆时针方向ty的平面曲线，记1=巾1(y+)dx+(2x)dy(i=1,2,3,4).则 max[1,12,13,14] 63C)(A) I)(B) I2(C) I3(D) 14【答案】Dxy3apaQ【解析】记P0=2x心23axay26dp.ayax53V2V25用D.表示L.所围区域，则有1元，1元,1 >1 >1,>1,一元，18282故选D(5)设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则C1（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价【答案】B【解析】将A,C按列分块，A=(α,.α,),C=（Y,.)由于AB=C,故(bi..bn(α....α)=(Y..Y.)bulbar
【解析】 1 1 - , 0, 1 2 2 ( )= - = 2 1 1 - , ,1 2 2 x x f x x x x ∈ ∈ 将 f x( ) 作奇延拓，得周期函数 F x( )，周期T=2 则 F x( )在点 9 4 x = − 处连续，从而 9 9 1 1 1 1 ( )= ( ) ( )= ( )= f( )= 4 4 4 4 4 4 S F F F − − = − − − − 故选 C (4) 设 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 L x y L x y L x y L x y : 1, : 2, : 2 2, : 2 2 + = + = + = + = 为四条逆时针方向 的 平 面 曲 线 ， 记 3 3 ( ) (2 ) ( 1,2,3, 4) i 6 3 i L y x I y dx x dy i = + + − = ∫ . 则 max , , , {I I I I 1 2 3 4} = （ ） （A） 1 I （B） 2 I （C） 3 I (D) 4 I 【答案】D 【解析】记 3 3 + , =2 6 3 y x P y Q x = − ，则 2 2 2 2 2 1 =1 + 2 2 Q P y y x x x y ∂ ∂ − = − − − − ∂ ∂ ， 3 3 2 2 = + + 2 = = 1 + 6 3 2 i i i i L D D y x Q P y I y dx x dy dxdy x dxdy x y ∂ ∂ − − − ∂ ∂ ∫ ∫∫ ∫∫ . 用 D i 表示 L i 所围区域，则有 1 2 3 4 4 1 3 2 5 1 3 2 2 = , = , = , = , . 8 2 8 2 I I I I I I I I π π π > > > 故选 D (5)设 A B C , , 均为n 阶矩阵，若 AB C= ,且 B 可逆，则 （ ） (A)矩阵C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 (B)矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 (C)矩阵C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 (D)矩阵C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价 【答案】B 【解析】将 A C, 按列分块， 1 1 ( ,., ), ( ,., ) A C = = α α γ γ n n 由于 AB C= ,故 11 1 1 1 1 . ( ,., ) . . . ( ,., ) . n n n n nn b b b b α α γ γ =
即Y=bia,+...+bnan,...,=b.α,+...+bna,即C的列向量组可由A的列向量线性表示由于B可逆，故A=CB-，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，选B(200)1al0b0相似的充要条件为ba()(6）矩阵a与(000)(al)(A) α=0,b=2(B)a=0,b为任意常数(C) a=2,b=0(D)α=2,b为任意常数【答案】B00(1a1(2bB=0b0【解析】令A=aa1](o0o)a因为A为实对称矩阵，B为对角阵，！则A与B相似的充要条件是A的特征值分别为2,b,0[α-11-1-a-a-1a-b0a1-bA的特征方程ZE-A=-11-1--a-a元-a01-b[(-2)(-b)-2a?1-a=元-10-a因为元=2是A的特征值，所以2E-A=0所以-2a2=0，即a=0当a=0时，E-A=(-2)(-b),A的特征值分别为2,b,0所以b为任意常数即可．故选B.(7)设X,X2,X是随机变量，且X,N(0,1),X,~N(0,2),X，~N(5,33)，P, = P[-2≤X,≤2)(i=1,2,3),则(D(A)P>P>P3(B) P2>P>P3(C) P3>Pi>P2(D)P>P>P2
即 1 11 1 1 1 1 . ,., . n n n n nn n γ α α γ α α = + + = + + b b b b 即C 的列向量组可由 A 的列向量线性表示 由于 B 可逆，故 1 A CB− = ， A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示，选 B (6) 矩阵 1 1 1 1 a a b a a 与 2 0 0 0 0 0 0 0 b 相似的充要条件为 （ ） (A) a b = = 0, 2 (B) a b = 0, 为任意常数 (C) a b = = 2, 0 (D) a b = 2, 为任意常数 【答案】B 【解析】令 1 1 1 1 a A a b a a = ， 2 0 0 0 0 0 0 0 B b = ， 因为 A 为实对称矩阵， B 为对角阵，则 A 与 B 相似的充要条件是 A 的特征值分别为2, ,0 b A 的特征方程 1 1 1 0 1 1 1 a a E A a b a b a a a λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − − − = − − = − − − − − − − − 1 0 0 1 a b a a λ λ λ − − = − − − − = ( )( ) 2 λ λ λ − − − 2 2 b a ， 因为λ = 2 是 A 的特征值，所以 2 0 E A − = 所以 2 − = 2 0 a ，即a = 0 . 当 a = 0 时， λ λ λ λ E A b − = − − ( 2)( ) ， A 的特征值分别为2, ,0 b 所以b 为任意常数即可. 故选 B. (7) 设 1 2 3 X , , X X 是随机变量，且 X N 1 ~ (0,1), 2 2 X N ~ (0, 2 ), 2 X N 3 ~ (5,3 ) ， p P X i i i = − ≤ ≤ = { 2 2 ( 1,2,3) } ,则 （ ） (A) 1 2 3 p p p > > (B) 2 1 3 p p p > > (C) 3 1 2 p p p > > (D) 1 3 2 p p p > >
【答案】A【解析】Pi = P[-2 ≤ X, ≤ 2) = Φ(2) -Φ(-2) = 20(2) -1,-2-0X,-02-0P2 = P(-2≤X,≤2]= P= Φ(1)-Φ(-1) = 2Φ(1) -1,222[-2-5,X,-5,2-5)=0(-1)-0(-@(1)P3 = P(-2≤X,≤2)= P3333由下图可知，P>P2>P3,选A.y+y= p(x)027/34(8)设随机变量X~t(n)，Y~F(1,n)，给定α(0<α<0.5),常数c满足P×>c)=α则P[>c2]=（）(A) α(B) 1-α(C) 2α(D) 1-2α【答案】C【解析】 X~t(n),则X?~F(l,n)P[Y >c]= P[X? >c]= P[X >c]+P[X <-c] =2P[X >c]=2α,选 C.二、填空题：9U14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上(9）设函数y=f(x)由方程y-x=e(l-)确定，则limnf(-)-1【答案】1【解析】x=0时，y=1方程两边对x求导得y-1=er(-)(1-y-xy)所以y(O)=1
【答案】A 【解析】 1 1 2 2 2 3 3 3 { 2 2} (2) ( 2) 2 (2) 1, 2 0 2 0 0 { 2 2} (1) ( 1) 2 (1) 1, 2 2 2 2 5 2 5 7 7 5 { 2 2} ( 1) (1), 3 3 3 3 3 p P X X p P X P X p P X P = − ≤ ≤ = Φ − Φ − = Φ − − − − − = − ≤ ≤ = ≤ ≤ = Φ − Φ − = Φ − − − − − = − ≤ ≤ = ≤ ≤ = Φ − − Φ − = Φ − Φ 由下图可知， 1 2 3 p p p > > ,选 A. (8) 设随机变量 X t n ~ ( ) ，Y F n ~ (1, ) ，给定α (0 0.5) < < α ,常数c 满足 P X c { > =} α ， 则 { } 2 P Y c > = （ ） (A) α (B) 1−α (C) 2α (D)1 2 − α 【答案】C 【解析】 X t n ~ ( ) ，则 2 X F n ~ (1, ) { } { } { } { } { } 2 2 2 P Y c P X c P X c P X c P X c > = > = > + < − = > = 2 2α ,选 C. 二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. (9) 设函数 y f x = ( ) 由方程 x y (1 ) y x e − − = 确定，则 1 lim ( ) 1 n n f →∞ n − = _ 【答案】1 【解析】 x = 0 时， y =1 方程两边对 x 求导得 (1 ) 1 (1 ) x y y e y xy − ′ ′ − = − − 所以 y′(0) 1 = y 1 2 7/3 x y x =ϕ( ) O
-f(0)= f'(0) =1imlim1-n（10）已知y=e3-xe,y2=e-xe2，y,=-xe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解y=【答案】y=c(e3x-e)+c,e-xe2x【解析】yi-y2=e3r-e',yz-y3=er,对应齐次微分方程的通解y2=c(e3x-e）+c,e非齐次微分方程的通解y=c(e3-e*)+c,e*-xe2d'y(11) 设/x=sint（t为常数），则ly=tsint+costdx?10【答案】V2dy_dy.1sint+tcost-sint【解析】dtdxdxcostdt(dy)dd'ydxdtdy11V2dx?dxdtdxdx?元costcOsdt4lnx(12)dx(1+ x)【答案】ln2dxInxInx【解析】=ln21Y(1+x)2(1+x)(1+x)x(1+ x)(13）设A=(a）是3阶非零矩阵，A为A的行列式，A,为a,的代数余子式，若ag +A, =0(i,j=1,2,3)则A|=【答案】-1
1 ( ) (0) 1 lim ( ) 1 lim (0) 1 n n 1 f f n n f f n n →∞ →∞ − − = = = ′ （10）已知 3 2 2 2 1 2 3 , , x x x x x y e xe y e xe y xe = − = − = − 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解 y = _ 【答案】 3 2 1 2 ( ) x x x x y c e e c e xe = − + − 【解析】 3 1 2 2 3 , , x x x y y e e y y e − = − − = 对应齐次微分方程的通解 2 3 1 2 ( ) x x x y c e e c e = − + 非齐次微分方程的通解 3 2 1 2 ( ) x x x x y c e e c e xe = − + − (11) 设{ sin sin cos x t y t t t = = + （t 为常数），则 2 2 d y dx 4 t π = =_ 【答案】 2 【解析】 1 sin cos sin cos dy dy t t t t t dx dt t dx dt + − = ⋅ = = ， 2 2 2 2 4 1 1 1 , 2 cos cos 4 t dy d d y dt d y dx dx dt dx t dx dx dt π = π = ⋅ = = = = (12) 2 1 ln (1 ) x dx x +∞ = + ∫ . 【答案】ln 2 【解析】 2 1 1 1 1 ln ln ln ln 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) x x dx x dx x x x x x +∞ +∞ +∞ +∞ = − + = = + + + + ∫ ∫ (13) 设 ( ) A a = ij 是 3 阶非零矩阵， A 为 A 的行列式， Aij 为 ij a 的代数余子式，若 0( , 1,2,3) ij ij a A i j + = = 则 A =_ 【答案】−1