8.2 正交基内容分布正交组的定义、性质8.2.18.2.2规范正交基的定义、性质及存在性8.2.3子空间的正交补8.2.4正交矩阵的概念8.2.5n维欧氏空间同构的概念及判别二、重点、难点正交向量组、n维欧氏空间的规范正交基等概念：子空间的正交补的概念及基本性质：施密特正交化方法
8.2 正交基 一、内容分布 二、重点、难点 正交向量组、n维欧氏空间的规范正交基等概念; 子空间的正 交补的概念及基本性质;施密特正交化方法. 8.2.1 正交组的定义、性质 8.2.2 规范正交基的定义、性质及存在性 8.2.3 子空间的正交补 8.2.4 正交矩阵的概念 8.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别
8.2.1正交组的定义、性质定义1欧氏空间的一组两两正交的非零向量叫做的一个正交组，如果一个正交组的每一个向量都是单位向量，这个正交组就叫做一个规范正交组例1向量αi=(0,1,0)，α=()α,=,0,)构成R3的一个规范正交组
8.2.1正交组的定义、性质 定义1 欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个 正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向量, 这个 正交组就叫做一个规范正交组. 例1 向量 构成R3的一个规范正交组. α1 =(0,1,0)， 2 1 1 ( ,0, ), 2 2 α = 3 1 1 ( ,0, ), 2 2 α = −
例2考虑定义在闭区间[0,2元]上一切连续函数所做成的欧氏空间C[0,2元]，函数l,cosx,sinx,...,cosnx,sinnx...构成C[0,2元]的一个正交组
例2 考虑定义在闭区间[0,2π]上一切连续函数所做成的欧 氏空间C[0,2π],函数 构成C[0,2π]的一个正交组. 1,cosx,sinx,⋯,cos nx,sin nx⋯
2：正交组的性质定理8.2.1设αi,α2,,n是欧氏空间的一个正交组，那么α,az,…,a,线性无关.证设有ai,a2,, a,使得aai+ aa,+ ... +a,an= 0因为当计j时，αi,a,)=0,所以O=(a,0)=(a,,ajai+azaz+...+anan)=aiai,ai)+...+a(ai,a,)+...+an(ai,an)=a,(ai, ai)但(a),所以，a=01,2,…,n.即a,a2,…,a,线性无关
2．正交组的性质 定理8.2.1 设{α1, α2, ⋯, αn}是欧氏空间的一个正交组，那么α1, α2, ⋯, αn线性无关. 证 设有a1, a2, ⋯, an使得. a1α1+ a2α2+ ⋯ +anαn= 0 因为当i≠j时,〈αi , aj 〉=0,所以 0=〈αi , 0〉=〈αi ,a1α1+ a2α2+ ⋯ +anαn〉 但〈αi ,αi 〉≠0,所以, ai =0, i=1,2, ⋯,n .即α1, α2, ⋯, αn线性无关. =a1〈αi , α1〉+⋯+ai 〈αi , αi 〉+⋯ +an〈αi , αn〉 =ai 〈αi , αi 〉
8.2.2规范正交基的定义、性质及存在性设V是一个n维欧氏空间，如果V中有n个向量a,α,…,a构成一个正交组，那么由定理8.2.1，这个n个向量构成V的一个基叫做V的一个正交基.如果V的一个正交基还是一个规范正交组，那么就称这个基是一个规范正交基，如果α,α…,n是n维欧氏空间V的一个规范正交基.令是的任意一个向量，那么是可以唯一写成E=xia,+x2a2+..+xnanXix2,…x是关于ai,a2,…,an的坐标
8.2.2规范正交基的定义、性质及存在性 设V是一个n维欧氏空间，如果V中有n 个向量α1, α2, ⋯, αn构 成一个正交组,那么由定理8.2.1，这个n个向量构成V的一个基, 叫做V的一个正交基.如果V的一个正交基还是一个规范正交组, 那么就称这个基是一个规范正交基. 如果{α1, α2, ⋯, αn}是n维欧氏空间V的一个规范正交基.令ξ 是V的任意一个向量,那么ξ是可以唯一写成 ξ =x1α1+x2α2+⋯+xnαn, x1,x2, ⋯ ,xn是ξ关于{α1, α2, ⋯, αn}的坐标