《高等代数》课程教学课件（讲稿）第九章 二次型 9.2 复数域和实数域上的二次型

9.2复数域和实数域上的二次型一、内容分布9.2.1复二次型的典范形9.2.2实二次型的典范形二、教学目的1：掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、实二次型的典范形型的惯性指标、符号差等概念2.掌握实二次型的惯性定律三、重点、难点实二次型的惯性定律

9.2 复数域和实数域上的二次型 一、内容分布 9.2.2 实二次型的典范形 三、重点、难点 实二次型的惯性定律 9.2.1 复二次型的典范形 二、教学目的 1．掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、实二次 型的典范形型的惯性指标、符号差等概念. 2．掌握实二次型的惯性定律

复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型9.2.1复二次型的典范形定理9.2.1复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩.两个复二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩，证显然只要证明第一个论断条件的必要性是明显的，我们只要证条件的充分性，设A.B是复数域上两个n阶对称矩阵，且A与B有相同的秩r，由定理9.1.3，分别存在复可逆矩阵P和Q，使得

9.2.1 复二次型的典范形 复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型. 定理9.2.1 复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分且必要条件是 它们有相同的秩. 两个复二次型等价的充分且必要条件是它们 有相同的秩. 证 显然只要证明第一个论断. 条件的必要性是明显的. 我们只要证条件的充分性. 设A,B 是复数域上两个n阶对称矩阵，且A与B有相同的秩r ，由定理 9.1.3，分别存在复可逆矩阵P和Q，使得

dPTAP=Q'BQ=当>0时，c+0,d0=1,2…r取n阶复矩阵

1 2 0 0 0 0 T r c c P AP c     =     1 2 0 0 0 0 T r d d Q BQ d     =     当r>0时, ci ≠0, di ≠0,i=1,2,⋯,r. 取n阶复矩阵

daS=这里ci，d分别表示复数c和d,的一个平方根.那么ST=S，TT=T,而

1 1 0 1 1 0 1 r c S c     =                             = 0 1 1 1 0 1 1   dr d T 这里 𝑐𝑖, 𝑑𝑖分别表示复数ci 和di 的一个平方根.那么ST=S， TT=T ,而

S'PTAPS=T'Q'BQT:?因此矩阵A.B都与矩阵合同所以A与B合同

TT TT r I O S P APS T Q BQT O O   = =     因此,矩阵A,B都与矩阵 合同,所以A与B合同. r I O O O      