8..4对称变换和对称矩阵一、内容分布8.4.1对称变换的定义8.42对称变换和对称矩阵之间的关系8.4.3对称变换的性质二、教学日的1.掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解题2.掌握对称变换的特征根、特征向量的性质3.对一个实对称矩阵A，能熟练地找到正交矩阵U，使UTAU为对角形三、重点难点1.对称变换和对称矩阵之间的关系：对称变换的特征根、特征向量的性质2.对实对称矩阵A，能熟练地找到正交矩阵U，使UTAU为对角形
8.4 对称变换和对称矩阵 三、重点难点 1.对称变换和对称矩阵之间的关系;对称变换的特征根、特征向量的性质; 2.对实对称矩阵A，能熟练地找到正交矩阵U，使UTAU 为对角形 一、内容分布 8.4.1 对称变换的定义 8.4.2 对称变换和对称矩阵之间的关系 8.4.3 对称变换的性质 二、教学目的 1.掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解 题． 2.掌握对称变换的特征根、特征向量的性质． 3.对一个实对称矩阵A，能熟练地找到正交矩阵U，使UTAU为对角形
1对称变换的定义定义1设?是欧氏空间V的一个线性变换，如果对于V中的任意向量，等式(o(), n)(, 0(n) )成立，那么就称是一个对称变换
1 对称变换的定义 定义1 设σ是欧氏空间V的一个线性变换，如果对于V中的 任意向量ξ,η，等式 〈σ(ξ), η〉=〈ξ, σ(η) 〉 成立，那么就称σ是一个对称变换
定理8.4.1设是n维欧氏空间V的一个对称变换.αj,α2，.…,an是V的任意一个规范正交基，A=(ai）是o关于这个基的矩阵，那么AT=A.即A为对称矩阵证因为o(a,)=ay,aj+a2,a2+.+aman,j-1,2, , n.是对称变换.而α,α2，…,α,是一个规范正交基，所以a,i=(ai;i+a2,a2+..+anian,a,)=(o(a,),a,)=(a, o(a,))=(a, ay,a,+a2ja2++anan)=aj即AT=A.n维欧氏空间的对称变换关于任意规范正交基的矩阵是一个实对称矩阵
定理8.4.1 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换. α1, α2 , ., αn 是V的任意一个规范正交基, A=(aij) 是σ关于这个基的矩阵,那 么AT=A,即A为对称矩阵. 证 因为σ(αj )= a1j α1+a2j α2+⋯+anj αn,j=1,2, ⋯, n. σ是对称变换.而 α1, α2 , ., αn是一个规范正交基, 所以 aji =〈a1i α1+a2i α2+⋯+ani αn, αj 〉=〈σ(αi ),αj 〉 =〈αi , σ(αj )〉 =〈αi ,a1j α1+a2j α2+⋯+anjαn〉=aij 即AT=A. n维欧氏空间的对称变换关于任意规范正交基的矩阵是一个实对称矩阵
2对称变换和对称矩阵之间的关系定理8.4.2设是n维欧氏空间V的一个线性变换，如果关于一个规范正交基的矩阵是对称矩阵，那么是一个对称变换证设o关于V的一个规范正交基αi,α2，…,α,的矩阵A=(a)是对称的，令=x,α，n=y,α,是V的任意向量。那么xo(a),yα,)-((ana)yα,o(E),n
2 对称变换和对称矩阵之间的关系 定理8.4.2 设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换，如果σ关于 一个规范正交基的矩阵是对称矩阵，那么σ是一个对称变换. 证 设σ关于V的一个规范正交基α1, α2 , ., αn的矩阵A=(aij) 是对称的，令 ∑ ∑ 是V的任意向量。那么 = = = = n i i i n i xi i y 1 1 ξ α , η α ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = n j i j n i n k i ki k n j i j n i xi i y x a y 1 1 1 1 1 σ (ξ ),η σ (α ), α α , α
之Eya,auxak?k=li=l-22aixyjj=l(5,0(n)=2≥ayx,yj同样的计算可得(α(5),n)=(5,0(n))=ZZa,x,y)因为a,=ai，所以即是一个对称变换如果n维欧氏空间V的一个线性变换?关于任意规范正交基的矩阵是一个实对称矩阵，则是一个对称变换
∑∑= = = n i n j aij xi y j 1 1 ξ,σ (η) 1 1 1 1 1 , n n n ki i k i j k i j n n ji i j j i ax y a xy = = = = = = = ∑∑ ∑ ∑∑ α α 因为aij =aji,所以 ∑∑= = = = n i n j aij xi y j 1 1 σ (ξ ),η ξ,σ (η) 即σ是一个对称变换. 如果n维欧氏空间V的一个线性变换σ关于任意规范正交基的矩阵是一个 实对称矩阵,则σ是一个对称变换. 同样的计算可得