1一一11111综合练习题及解一综合练习题综合练习题（）1.（西南交通大学）设（），g（）是两个多项式，（"）十g（)可被++1整除，厕(1)=g(1)=0.2.（中国科技大学）设4一（a）是n阶方阵，aj=aq≠0，i.j=1,2,..,n. 求detA.3.（中国人民大学）已知α=（7，10,1，1,1）αz=（6，--8，2,3,1),α=（5，—6，5,5,1),α—（1，—2,3，—20)都是线性方程组++++20,31十2x2+3+-315-0,?+2+2+60(5x+4+3+3-=0的解向量，试问方程组①的解能否都用ααzα，α线性表出？并求出方程组①的～组包含αt，α2，α，α的一个极大线性无关组的基础解系，4.（日本东京工业大学）设A，BX（n二0，1）都是3阶方阵，X+1=AX.十B，当
综合练习题及解·329·fo000001011000A=0B=00Xp101oj1001.000时，求X,5.（吉林大学）若矩阵A--1和B-I的秩分别为p和g，则矩阵AB一1的秩不大于力十9其中1是单位矩阵6.（南京大学）把二次型f()=42—2—2+3化为标准形式，并求相应的线性变换和二次型的符号差7.（高数三，1998年）设矩阵(101)A-020[101矩阵B=（I十A）,其中为实数，I为单位矩阵.求对角阵Λ，使B与人相似，并求为何值时，B为正定矩阵，8.（北京大学）设线性空间V中向量组α1α2，α，α线性无关，(1）试问：向量组+α+++α是否线性无关？要求说明理由，（2）求向量组十α++α+生成的线性空间W的一个基以及W的维数.-561求：9.（华中师范大学）设A=45（1）A的特征值与特征向量；（2）求A2"（n为正整数）10.（北京大学）设是数域K上3维向量空间V的一个线性变换，在V的一组基1，2E：下的矩阵为
·330·高等代数习题详解15163266A--1343-2（1）求出V的一组基，使&在此组基的矩阵为对角阵；（2）求3阶可逆矩阵T，使T-1AT成为对角矩阵，11.（大连理工大学）求A的全体零化多项式集，其中0ro1110101A=0071OJ[10112.（辽宁大学）若n阶方阵A满足AAAA，称A为正规阵，证明：A为正规阵的充要条件是A与对角阵酉相似综合练习题（二）1.（美国大学生数学竞赛题）求三次方程，使其三个根分别是三次方程3十a?十br+c=0的三个根的立方。计算n阶行列式2.（武汉大学）[1+3y1+12其中r=yzD.=y21+t设α，az，，α为线性方程组AX=03.（高数一，2001年）的一个基础解系，B-ta+ta.,B-ta,+taBtia,+t2a2,其中t,z为实常数，试问t,t2满足什么关系时B，β，，B也为AX一0的一-个基础解系
·331综合练习题及解答bfa其中a，b，c为实数，试求4.（中国科技大学）设A0011a，b，c的一切可能值，使A100015.（吉林大学）对任意方阵A，必存在正整数m，使得矩阵A"之秩等于矩阵A"+1之秩，6.（华中师范大学）求二次型f(=+4++210+6的正惯性指数与符号差7.（高数三，2000年）设有n元二次型f(,***,)=(+a)+(+a)+..+(-1+an-)2+(+an,)其中ai,2，..,n)为实数，试问：当ai,a2,,a,满足何种条件时，二次型f（，2，.，)为正定二次型8.（湖北大学）已知3维向量空间P3的两组基α1一（1，2，1），α2-(2,3,3),α=(3,7,1);B,-(3,1,4),B=(5,2,1),β=(1,1,一6)，向量α在这两组基下的坐标分别为（1,2,)及（y1,y2y3)．求此二坐标之间的关系9.（华中师范大学）设α1，αz,α：为线性空间V的一组基，是V的线性变换，且=α+（1）证明：G是可逆线性变换；（2）求2g—g-在基α，α2,α下的矩阵(B)为准对角阵，名()，名2()，设B-10.（福州大学）B,g（>)是B,B2,B的最小多项式，求证：g(A)=[gr(a),g2(A)]
-一. 332.高等代数习题详解其中［g（a），2（a)是g（a)，g2（a)的首项系数为1的最小公倍式11.（北京大学）设?是n维欧氏空间V的一个线性变换，V的线性变换?称为?的伴随变换，如果(p(α),B)=(α,p(B)), α,BEV.（1）设9在V的一组标准正交基下的矩阵为A，证明：在这组标准正交基下的矩阵为A：（2）证明：V=（0-1(0)），其中*V为的值域，9-1(0)为的核.12、（武汉大学）R表示实数，在欧氏空间R-（（a1a2,a3alaER}中，其内积<(a1>a2ta3,at),(b1bz,b3,b,))=11,求α,ER,使a,α2,令(1,0,0,0),α20α3,α成R的标准正交基综合练习题（三）1，（俄罗斯大学生数学竞赛题）设（）是整系数多项式，若/(0)与f(1）都是奇数，求证：/(r）无整数根2.（厦门大学）设多项式(a+0)f(r)=ao"+aia"-i+..+aa-ix+a,的n个根为α1α…，α，得D()-a-2 (α-α,)2is为F(z)的判别式．证明：f()有重根的充要条件是SISa-1So.SnS152=0,N-:::S.52n-S-k