7.4本征值和本征向量一、内容分布7.5.1线性变换的本征值和本征向量的定义7.5.2矩阵的特征值和特征向量的定义7.5.3特征值和特征向量的计算方法7.5.4矩阵特征值和特征向量的性质二、重点、难点矩阵的特征值和特征向量的求法及性质
7.4 本征值和本征向量 一、内容分布 7.5.2 矩阵的特征值和特征向量的定义 二、重点、难点 矩阵的特征值和特征向量的求法及性质 7.5.3 特征值和特征向量的计算方法 7.5.4 矩阵特征值和特征向量的性质 7.5.1 线性变换的本征值和本征向量的定义
7.5.1线性变换的本征值和本征向量的定义设V是数域上F一个向量空间，c是V的一个线性变换定义设入是F中一个数.如果存在V中非零向量，使得（1）0那么就叫做的一个本征值，而叫做的属于的本征值入的一个本征向量显然如果是?的属于本征值入的一个本征向量那么对于任意aEF都有a）=ao=a=a这样，如果是的一个本征向量.那么由所生成的一维子空间UaaEF在之下不变；反过来，如果V的一个一维子空间U在?之下不变，那么U中每一个非零向量都是?的属于同一本征值的本征向量
7.5.1 线性变换的本征值和本征向量的定义 设V是数域上F一个向量空间,σ是V的一个线性变换. 定义 设λ是F中一个数.如果存在V中非零向量ξ,使得 (1) σ(ξ)=λξ . 那么λ就叫做σ的一个本征值,而ξ叫做σ的属于的本征值λ的一 个本征向量. 显然,如果ξ是σ的属于本征值λ的一个本征向量,那么对于 任意a∈F,都有 σ(aξ) =aσ(ξ)=aλξ =λ(aξ) .这样,如果ξ是σ的一个 本征向量.那么由ξ所生成的一维子空间U={aξ|a∈F}在σ之下 不变; 反过来,如果V的一个一维子空间U在σ之下不变,那么U中每 一个非零向量都是σ的属于同一本征值的本征向量
例1令H是V的一个过原点的平面，而是把V的每一个向量变成这个向量在H上的正射影的线性变换.那么H中每一个非零向量都是?的属于本征值1的本征向量而过原点与平面垂直的直线上每一个非零向量都是?的属于本征值0的本征向量例2令D表示定义在全体实数上的可微分任意次的实函数所成的向量空间.S:f(x）一f（x）是求导运算.S是D的一个线性变换.对于每一实数a，我们有（eax）=1ex所以任何实数入都是的本征值，而ex是属于入的一个本征向量例3令Fx是数域F上一切一元多项式所成的向量空间，容易验证x）一xf（x）是Fxl的一个线性变换.比较次数可知对于任何aEF都不存在非零多项式x），使得xf(x）=f(x）因此o没有本征值
例1 令H是V3的一个过原点的平面,而σ是把V3的每一个向 量变成这个向量在H上的正射影的线性变换.那么H中每一个 非零向量都是σ的属于本征值1的本征向量,而过原点与平面垂 直的直线上每一个非零向量都是σ的属于本征值0的本征向量. 例3 令F[x]是数域F上一切一元多项式所成的向量空间,容易 验证σ :f(x) ⟼xf (x)是F[x]的一个线性变换.比较次数可知,对于 任何λ∈F,都不存在非零多项式f(x),使得xf (x) =λf (x),因此σ没有 本征值. 例2 令D表示定义在全体实数上的可微分任意次的实函数 所成的向量空间. δ:f (x)⟼f ʹ (x)是求导运算. δ是D的一个线性 变换.对于每一实数λ,我们有δ (eλx )=λeλx ,所以任何实数λ都是δ的 本征值,而eλx 是属于λ的一个本征向量
现在设V是数域上F一个n维向量空间，取定V的一个基αi,α2，an，令线性变换关于这个基的矩阵是A.如果=xa+xa+..+xa是线性变换的属于本征值a的一个本征向量.那么由（1）及定理7.3.1.我们有XXXi士2=0(I-A)（2)或=入A.十X因为≠0，所以齐次线性方程组（2）有非零解.因而系数行列式
现在设V是数域上F一个n维向量空间,取定V的一个基 {α1,α2 , ⋯, αn}, 令线性变换σ关于这个基的矩阵是A. 如果ξ =x1α1+ x2α2+⋯+ xnαn是线性变换σ的属于本征值λ的 一个本征向量.那么由(1) 及定理7.3.1,我们有 1 1 2 2 n n x x x x A x x λ = 1 2 () 0 n x x I A x λ − = 或 (2) 因为ξ ≠ 0,所以齐次线性方程组(2)有非零解.因而系数行列式
2-al-a12-ain1-a22-a21-a2n(3)det(al-A)=0a-a-anl-an217反过来，如果1EF满足等式（3），那么齐次线性方程组（2）有非零解(x1,x2"xn)因而=xa+x2,++xa,满足等式(1)即入是的一个本征值
(3) 11 12 1 21 22 2 1 2 det( ) 0 n n n n nn aa a aa a I A aa a λ λ λ λ −− − −− − − = = −− − 反过来,如果λ∈F满足等式(3),那么齐次线性方程组(2)有非 零解(x1, x2,⋯,xn),因而ξ =x1α1+ x2α2+⋯+ xnαn满足等式(1),即 λ是σ的一个本征值