7.6可对角化的矩阵一、内容分布7.6.1可对角化的定义7.6.2本征向量的线性关系7.6.3可对角化的判定7.6.4矩阵对角化的方法及步骤二、重点、难点可对角化的判断与计算
7.6可对角化的矩阵 一、内容分布 7.6.2 本征向量的线性关系 二、重点、难点 可对角化的判断与计算 7.6.3 可对角化的判定 7.6.4 矩阵对角化的方法及步骤 7.6.1 可对角化的定义
7.6.1可对角化的定义设?是数域F上n（n≥1）维向量空间V的一个线性变换.如果存在的一个基，使得关于这个基的矩阵是对角矩阵1）那么就说?可以对角化
7.6.1 可对角化的定义 设σ是数域F上n(n≥1)维向量空间V的一个线性变换.如果 存在V的一个基,使得σ关于这个基的矩阵是对角矩阵 那么就说σ可以对角化. 1 2 00 0 000 0 00 n λ λ λ Λ = (1)
设A是数域F上一个n阶矩阵，如果存在F上一个n阶可逆矩阵T，使得T-1AT具有对角形式（1）则说矩阵A可以对角化由7.4看到，n维向量空间V的一个线性变换可以对角化相当于说，在V中存在由?的本征向量所组成的基
设A是数域F上一个n阶矩阵，如果存在F上一个n阶可逆 矩阵T，使得T -1AT具有对角形式(1),则说矩阵A可以对角化. 由7.4看到,n维向量空间V的一个线性变换σ可以对角 化相当于说,在V中存在由σ的本征向量所组成的基
7.6.2本征向量的线性关系定理7.6.1令?是数域F上向量空间V的一个线性变换.如果2分别是的属于互不相同的本征值入，2，入的本征向量，那么线性无关证对n用数学归纳法当n=1时定理成立.因为本征向量不等于零.设n>1并且假设对于n-1来说定理成立现在设入12入是的两两不同的本征值，是属于本征值入的本征向量(2)o()=1,5=1,2,n如果等式
7.6.2 本征向量的线性关系 定理7.6.1 令σ是数域F上向量空间V的一个线性变换.如果ξ1 ξ2,⋯,ξn分别是σ的属于互不相同的本征值λ1 ,λ2,⋯, λn的本征 向量，那么ξ1 ,ξ2,⋯,ξn线性无关. 当n=1时,定理成立.因为本征向量不等于零.设n>1并且假设 对于n-1来说定理成立.现在设λ1,λ2,⋯, λn是σ的两两不同的本征 值, ξi 是属于本征值λi 的本征向量: 证 对n用数学归纳法 (2) σ(ξi ) =λi ξi , i=1,2, ⋯n . 如果等式
(3)ai5i+a252+..+ann=0,a,EF成立，那么以入，乘（3）的两端得(4)aiansitaaanE2+...tanEn=0另一方面，对（3）式两端施行线性变换.注意到等式（2）有(5)aiai5i+a1252+...+anansn=0(5)式减(4)式得ai(a1-An)5i+a2(a2-n)52 +...+an-1(an-1-an)En-1 =0.根据归纳假设，2-线性无关，所以由上式得a,(a,-^n)=0, i=-1,2, "",n但入112入两两不同，所以aa2.=an-1-0.代入（3）因为0所以a=0.这就证明了，线性无关
成立,那么以λn乘(3)的两端得 另一方面,对(3)式两端施行线性变换σ,注意到等式(2),有 (5)式减(4)式得 根据归纳假设, ξ1,ξ2,⋯,ξn-1线性无关,所以由上式得 但λ1,λ2,⋯,λn两两不同,所以a1 =a2= ⋯=an-1=0.代入(3),因为ξn≠0, (3) a1ξ1+a2ξ2 +⋯+anξn =0,ai ∈F (4) a1λnξ1+a2λnξ2 +⋯+anλnξn =0. (5) a1λ1ξ1+a2λ2ξ2 +⋯+anλnξn =0. a1(λ1-λn )ξ1+a2(λ2-λn ) ξ2 +⋯+an-1(λn-1-λn )ξn-1 =0. ai (λi -λn ) =0, i=1,2, ⋯,n . 所以an=0.这就证明了ξ1 ,ξ2,⋯,ξn线性无关