首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答（数学类，2009）满分：100分.考试形式：闭卷考试时间：120分钟不车二三四五六七题号总分满20151015 15分1510100得分注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记线得分（15分）求经过三平行直线L:x=y=z评阅人L,:x-1=y=z+1，L:x=y+1=z-1的圆柱面的方程封解：先求圆柱面的轴L。的方程由已知条件易知，圆柱面母线的方向是n=(11,1)，且圆柱面经过点O(0,0,0)，过点O(0,0,0)且垂直于n=(1,1,1)的平面元的方程为：x+y+z=0(3分)密(5分)元与三已知直线的交点分别为O(0,0,0),P(1,0,-1),9(0,-1,1)圆柱面的轴L。是到这三点等距离的点的轨迹，即x2 + y? +2? =(x-1)* + y2 +(2+1)2[x2 + y +22 = x2 +(y+1)*+(2-1)2即z=1(9分)将L,的方程改为标准方程x-1=y+1=z名姓圆柱面的半径即为平行直线x=y=z和x-1=y+1=z之间的距离，P(1,-1,0)第1页（共6页）
第 1 页（ 共 6 页） 专业： 线 年级： 封 所在院校： 密 身份证号： 姓名： 首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 （数学类，2009） 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 题 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 满 分 15 20 15 10 10 15 15 100 得 分 注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 一 、（ 15 分）求经过三平行直线 1 Lx y z : = = ， 2 Lx y z :1 1 − = =+ ， 3 Lx y z : 11 = += − 的圆柱面的方程. 解： 先求圆柱面的轴 L0 的方程. 由已知条件易知，圆柱面母线的方向是 n = (1,1,1) G ， 且圆柱面经过点O(0,0,0) ， 过点O(0,0,0) 且垂直于n = (1,1,1) G 的平 面π 的方程为： xyz ++= 0 . .（3 分) π 与三已知直线的交点分别为OP Q (0,0,0), (1,0, 1), (0, 1,1) − − . （5 分) 圆柱面的轴 L0 是到这三点等距离的点的轨迹， 即 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) xyz x y z xyzx y z ⎪⎧ + + =− + ++ ⎨ ⎪⎩ + + = ++ +− ， 即 1 1 x z y z ⎧ − = ⎨ ⎩ − = − ，.（9 分) 将 L0 的方程改为标准方程 x −1 1 = += y z. 圆柱面的半径即为平行直线 x = y z = 和 x −1 1 = += y z 之间的距离. 0 P (1, 1,0) − 得 分 评阅人
为L上的点(12分)InxPO]有|nxPs即对圆柱面上任意一点S(x.y.=)，[n][n](-y+z-1)? +(x-z -1)° +(-x+y+2) =6 ,所以，所求圆柱面的方程为：x? + y? +2?- xy- xz- yz-3x+3y = 0(15分)得分二、（20分）设Cx是nxn复矩阵全体在通常的运算下所构成(00:0-an评阅人0-a,-的复数域C上的线性空间，F=00a.:::(00:1-a,(aa2..ana2ia22.a2n（1）假设A=若AF=FA，证明：anan..a.A=a.Fn- +an-F"-2+...+a,,F+a,E;(2）求Cx"的子空间C(F)={XeCx"|FX=XF|的维数(1）的证明：记A=(α,α2,"α），M=aF"-+an-l++aF+aE.要证明M=A，只需证明A与M的各个列向量对应相等即可.若以e,记第i个基本单位列向(2 分)量.于是，只需证明：对每个i，Me,=Ae(=α）若记β=(-an,-a-,",-a)，则F=(e,e,",en,β).注意到,Fe, =e2, Fe = Fe, =e,, F"le, = F(F"-e,)= Fen- =en(*)(6分)由Me, =(amF"-I +an--F"-2 +..+a,F+a.,E)e,=anF"'e, +an-nF"-e, +...+a2,Fe, +a,Ee=anen +an-en-+ +..+azie, +arei= α, = Aer（10分）知Me,=MFe,=FMe,=FAe,=AFe =Ae,第2页（共6页）
第 2 页（ 共 6 页） 为 L0 上的点. . （12 分) 对圆柱面上任意一点Sxyz (, ,)， 有 0 0 | || | || || n PS n PO n n × × = G JJJG G JJJG G G ， 即 22 2 ( 1) ( 1) ( 2) 6 − + − + − − +− + + = yz xz xy ， 所以，所求圆柱面的方程为： 2 22 x y z xy xz yz x y ++−−−−+ = 33 0 . . （15 分) 二、（20 分）设 n n C × 是n n × 复矩阵全体在通常的运算下所构成 的复数域C 上的线性空间， 1 2 1 00 0 10 0 01 0 00 1 n n n a a F a a − − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ − = − ⎝ ⎠ − # # # # ### # # . （1）假设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn aa a aa a A aa a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ " " """" " ，若 AF FA = ，证明： 1 2 1 11 21 11 n n A aF a F aF aE n n − − = + ++ + − " ； （2）求 n n C × 的子空间 () | { } n n C F X C FX XF × =∈ = 的维数. （1）的证明:记 1 2 (, , , ) A = α α α " n ， 1 2 1 11 21 11 n n M n n aF a F aF aE − − = + ++ + − " .要证明 M = A，只需证明 A与 M 的各个列向量对应相等即可.若以 i e 记第i 个基本单位列向 量.于是，只需证明：对每个i ， ( ) Me Ae i ii = =α . . （2 分) 若记 1 1 ( , , )T n n β aa a =− − − − " ，则 2 3 (, ,) F ee e = " n β .注意到， 2 12 12 1 23 1 1 1 , , ( ) n n Fe e F e Fe e F e F F e Fe e n n − − = == = = = " − （*） . （6 分) 由 1 2 1 1 11 21 11 1 1 2 1 1 11 1 21 1 11 1 1 11 1 21 2 11 1 1.(10 ( ) n n n n n n n n nn n n Me a F a F a F a Ee a F e a F e a Fe a Ee ae a e ae ae α Ae − − − − − − − − 1 = + ++ + = + + + + = + + + + = = " " " 分） 知M 2 1 1 1 12 e MFe FMe FAe AFe Ae = = === 得 分 评阅人
1Me, = MF’e = F2Me, = F2 Ae, = AFe, = Ae,Me, = MF"-le = F"-'Me, = F"- Ae, = AF"-le, = Ae.所以，M=A.(14分)(2)解：由 (1), C(F)=span(E,F,F2,,F"l)(16分)不车设xE+xF+x,F2++-F"-=O，等式两边同右乘e，利用（*）得+x0=Oe, =(xE+x,F+x,F?+.+X--F")e=xEe +xFe +x,Fe+.+x.,Fnle.（18分）= xe, +xe, +xe, +..+xnle..因ee2,ese,线性无关，故，x=x,=x,=..=--=0.(19分）线所以，E,F,F,,F""线性无关.因此，E,F,F”,F"-是C(F)的基，特别地，1dimC(F)=n(20分)得分三、（15分）假设V是复数域c上n维线性空间（n>0），f,g封评阅人是V上的线性变换.如果fg-gf=f，证明：f的特征值都是0，且f,g有公共特征向量密证明：假设是于的特征值，W是相应的特征子空间，即W=(neVIf(n)=n).于是，W在f下是不变的.(1分)下面先证明，2=0.任取非零neW，记m为使得n.g(n),g(n),,g"(n)线性相关的最小的非负整数，于是，当0<i≤m-1时，n.g(n),g(n),,g(n)线性无关..（2分)0≤i≤m-1时令w,=span(n,g(n),g"(n),,g*(n)),其中，W。={0).因此，dimW,=i（1≤i≤m），并且，Wm=Wm+=Wm2显然，g(W)cW，特别地，Wm在g下是不变的.(4分)下面证明，W在f下也是不变的.事实上，由f(n)=n，知名fg(n)= gf(n)+ f(n)= g(n)+ n ....（5分）姓第3页（共6页）
第 3 页（ 共 6 页） 专业： 线 年级： 封 所在院校： 密 身份证号： 姓名： 22 2 2 M 3 1 1 1 13 e MF e F Me F Ae AF e Ae = = === """"" 11 1 1 1 111 nn n n M n n e MF e F Me F Ae AF e Ae −− − − = = === 所以，M = A. . （14 分) （2）解： 由（1）， 2 1 () {, , , , } n C F span E F F F − = " ，. （16 分) 设 2 1 012 1 n n x E xF xF x F O − + + ++ = " − ，等式两边同右乘 1e ，利用（*）得 2 1 10 1 2 1 1 ( ) n θ Oe x E x F x F x F e n − = = + + ++ " − 2 1 01 11 2 1 1 1 01 12 23 1 .(18 n n n n x Ee x Fe x F e x F e xe xe xe x e − − − = + + ++ = + + ++ " " 分） 因 123 , , n eee e " 线性无关，故， 012 1 0 n xxx x = === = " − .（19 分) 所以， 2 1 , , , n EFF F " − 线性无关.因此， 2 1 , , , n EFF F " − 是C F( ) 的基，特别地， dim ( ) CF n = . .（20 分) 三、（15 分）假设V 是复数域C 上n 维线性空间（n > 0 ），f , g 是V 上的线性变换.如果 fg gf f − = ，证明： f 的特征值都是 0，且 f , g 有公共特征向量. 证 明 ：假设 λ0 是 f 的特征值， W 是相应的特征子空间，即 W Vf =∈ = {η | () η λη0 }.于是，W 在 f 下是不变的. .（1 分) 下面先证明，λ0 =0.任取非零η ∈W ，记m 为使得 2 , ( ), ( ), , ( ) m η gg g ηη η " 线性相关的 最小的非负整数，于是，当0 1 ≤ i m≤ − 时， 2 , ( ), ( ), , ( ) i η gg g ηη η " 线性无关.（2 分) 0 1 ≤≤ − i m 时令 2 1 { , ( ), ( ), , ( )} i W span g g g i η ηη η − = " ,其中， 0 W = { }θ .因此，dimW i i = （1≤ ≤i m），并且，WW W mm m = + + 1 2 = =". 显然， 1 ( )i i gW W⊆ + ，特别地，Wm在 g 下 是不变的. .（4 分) 下面证明，Wm在 f 下也是不变的.事实上，由 0 f ( ) η = λ η ，知 0 0 fg gf f g () () () () η = η η λ η λη += + .（5 分) 得 分 评阅人
fg(n) = gfg(n)+ fg(n)=g(g(n)+)+(g(n)+n)= g(n)+2g(n)+2on.（6分）根据fg*(n) = gfgk-l(n)+ fgt-l(n)= g(fg*-l)(n)+ fg*-l(n)用归纳法不难证明，fg(n)一定可以表示成n,g(n),g(n),,g*(n)的线性组合，且表示式中g(n)前的系数为(8分)因此，W在f下也是不变的，f在W上的限制在基n,g(n),g(n),,g"-(n)下的矩阵是上三角矩阵，且对角线元素都是，因而，这一限制的迹为m.…（10分）由于fg-gf=f在Wm上仍然成立，而fg-gf的迹一定为零，故mg=0，即2, =0.(12分)任取neW，由于 f(n)=，fg(n)=gf(n)+f(n)=g(0)+f(n)=0，所以,g(n)eW.因此，W在g下是不变的.从而，在W中存在g的特征向量，这也是f.g的公共特征向量（15分）得分四、（10分）设(f.(x))是定义在[a,b]上的无穷次可微的函数序评阅人列且逐点收敛，并在[a,b]上满足f,(x)≤M.（1）证明(f,(x))在[a,b]上一致收敛；（2）设f(x)=limf,(x)，问f(x)是否一定在[a,b]上处处可导,为什么?证明：（1）Ve>0，将区间[a,b]K等分，分点为x,=a+b=,j=0,12,K，使K得b-a<8，由于(f.(x)在有限个点(x),j=0,1,2,,K上收敛，因此3N，Vm>n>N，K使得m(x)-f.(x)<对每个j=0,1,2,,K成立(3分)于是Vxe[a,b]，设xe[x,xl]，则If.(x)-f.(x)≤f.(x)-fm(x)+f.(x)-f.(x)+f.(x,)-f.(x)第4页（共6页）
第 4 页（ 共 6 页） 2 0 00 0 2 0 00 .(6 () () () ( () ) ( () ) () 2 () fg gfg fg gg g g g η ηη λ η λη λ η λη λ η λ η λη = + = + + + = + + 分） 根据 1 1 1 1 () () () ( )( ) ( ) kk k k k fg gfg fg g fg fg η ηη η η − − − − = + = + 用归纳法不难证明， ( ) k fg η 一定可以表示成 2 , ( ), ( ), , ( ) k η gg g ηη η " 的线性组合，且 表示式中 ( ) k g η 前的系数为λ0 . . （8分) 因此，Wm在 f 下也是不变的， f 在Wm上的限制在基 2 1 , ( ), ( ), , ( ) m η gg g ηη η " − 下的 矩阵是上三角矩阵，且对角线元素都是λ0 ，因而，这一限制的迹为mλ0 . .（10 分) 由于 fg gf f − = 在Wm 上仍然成立，而 fg gf − 的迹一定为零，故 0 mλ = 0 ，即 λ0 =0. . （12 分) 任取η ∈W ，由于 f ( ) η = θ ， fg gf f g f () () () () () η = η η θ ηθ +=+= ，所以， g W ( ) η ∈ .因此，W 在 g 下是不变的.从而，在W 中存在 g 的特征向量，这也是 f , g 的 公共特征向量. . （15 分) 四、（10 分）设{ fn ( ) x }是定义在[a b, ]上的无穷次可微的函数序 列且逐点收敛，并在[a b, ]上满足 '( ) nf x M≤ .（1）证明{ fn ( ) x } 在[a b, ]上一致收敛；（2）设 ( ) lim ( ) n n f x fx →∞ = ，问 f ( ) x 是否一定在[a b, ]上处处可导,为什 么？ 证明：（1）∀ > ε 0 ，将区间[a b, ] K 等分，分点为 ( ), 0,1,2, , j jb a x a jK K − =+ = " ，使 得 b a K ε − < . 由于{ fn ( ) x }在有限个点{ }, 0,1,2, , j x j K = " 上收敛，因此∃N ，∀>> mnN ， 使得 () () mj nj f x fx − < ε 对每个 j = 0,1,2, , " K 成立. . （3 分) 于是∀ ∈x [,] a b ，设 1 [, ] j j x x x ∈ + ，则 () () () ( ) ( ) ( ) ( ) () m n m mj mj nj nj n f x fx f x f x f x fx fx fx −≤ − + − + − ， 得 分 评阅人
=()(x-x)+.(x)-f.(x)+. ()(x-x)<(2M+1)... (5分)（2）不一定（6分）+，则(x)=lim J,()在[a,b]上不能保证处处可导.（10分)令 fn(x)=得分证明之发不车sinn五、（10分）设adtsint"an评阅人散sinntinn解：(3分)dt=I, +I,sintsinsin元n(5分)2n线rddi<dt=-（7分）2tSin元（n2)元n(8分)88封1因此！由此得到之六发散(10分)a,元nn=i an密得分六、（15分）(x,J)是((x,y)/x+≤1)上二次评阅人连续可微函数，满足%+%=x，计算ax?"ay?积分afaf1dxdyx?+y? axYx?+ y? ay解：采用极坐标x=rcose.y=rsine，则(f dy- dx[cos0.%+sin0.%]rde =.（6分)=lddaxOxOyay名-(s()..（10分）姓第5页（共6页）
第 5 页（ 共 6 页） 专业： 线 年级： 封 所在院校： 密 身份证号： 姓名： '( )( ) ( ) ( ) '( )( ) m j mj nj n j = −+ − + − f ξ η xx f x fx f xx < + (2 1 M )ε . .（5 分) （2）不一定. .（6 分) 令 2 1 ( ) nfx x n = + ，则 ( ) lim ( ) n n f x fx →∞ = 在[a b, ]上不能保证处处可导.（10 分) 五、（10 分）设 3 2 0 sin sin n nt a t dt t π = ∫ ， 证明 1 1 n n a ∞ = ∑ 发 散. 解： 3 3 3 2 2 1 2 0 0 sin sin sin sin sin sin n n nt nt nt t dt t dt t dt I I ttt π ππ ∫∫∫ = + =+ π . （3 分) 3 2 3 1 0 0 sin sin 2 n n nt n I t dt n tdt t π π π = <= ∫ ∫ ， .（5 分) 3 3 3 22 2 2 sin 1 sin 2 8 nn n nt I t dt t dt d tt t ππ π ππ π ⎛ ⎞ ⎛⎞ π π = < ⋅ =− ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ∫∫ ∫ .（7 分) 3 2 2 8 8 π n n π π π ⎛ ⎞ = −< ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . .（8 分) 因此 2 1 1 n a n π > ，由此得到 1 1 n n a ∞ = ∑ 发散. .（10 分) 六、（15 分） f (, ) x y 是{ } 2 2 ( , )| 1 xy x y + ≤ 上二次 连续可微函数，满足 2 2 2 2 2 2 f f x y x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ ，计算 积分 2 2 x y 1 22 22 xf yf I dxdy xy xy x y + ≤ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = + ⎜ ⎟ + + ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∫∫ . 解： 采用极坐标 xr yr = cos , sin θ = θ ，则 1 2 0 0 cos sin f f I dr rd x y π θ θ θ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = ⋅+ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫ 2 22 1 0 xyr f f dr dy dx x y + = ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫ .（6 分) 2 22 1 2 2 0 xyr f f dr dxdy x y + ≤ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫∫ 2 22 ( ) 1 2 2 0 xyr dr x y dxdy + ≤ = ∫ ∫∫ . （10 分) 得 分 评阅人 得 分 评阅人