《高等代数》课程教学资源（试卷习题）高等代数各章知识点讲义（含习题集，无答案）

高等代数习题集第一章多项式一、内容提要$1.1数域数域定义设F是由一些复数组成的集合，其中包括0和1.如果F中任意两数（这两个数可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是F中的数，那么F就称为一个数域S1.2一元多项式1．一元多项式定义设n是一非负整数．形式表达式a,x" +a,-xn-I +...+ao.其中αo,a，,a,属于数域F，称为数域F上的一元多项式.2．多项式的运算（1）加法设f(x)=a,x" +an-i-I +...+a =a,x,g(x)=b,x" +bn--x-I +...+b, =bxi=0i=0（如果二者的次数不相等，则可以在次数小的前面加一些系数为零的项），定义f(x)与g(x)的加法为(a, +b,)x"+(an-- +b.-)x"-...+(ao +b)=)(a, +b)xi=0记作f(x)+g(x)，称为f(x)与g(x)的和（2）数乘设f(x)=a,r"+an-xn-l+.+α，ceF.定义数c与多项式f(x)的乘法为ca,x"+caw-+*"-++.+cao.（3）乘法设f(x)=a,x"+a-+"++.+aog(x)=b.x"+b.-*" +..+bo.定义它们的乘法为-1-

高等代数习题集 - 1 - 第一章 多项式 一、内容提要 §1.1 数域 数域定义 设F是由一些复数组成的集合，其中包括 0 和 1. 如果F中任意两数（这两个数可以相 同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是F中的数，那么F就称为一个数域. §1.2 一元多项式 1． 一元多项式定义 设 n 是一非负整数. 形式表达式 1 1 0 n n n n ax a x a − + − + + " , 其中 0 1 , , n aa a " 属于数域F，称为数域F上的一元多项式. 2．多项式的运算 （1）加法 设 1 1 10 10 0 0 () , () n n n n i nn i n n i nn i i i f x a x a x a ax g x b x b x b bx − − − − = = = + ++ = = + ++= " " ∑ ∑ , （如果二者的次数不相等，则可以在次数小的前面加一些系数为零的项）， 定义 f ( ) x 与 g x( ) 的加法为 1 1 1 00 0 ( )( ) ( ) ( ) n nn i nn n n ii i a b x a b x a b a bx − − − = + + + ++= + " ∑ , 记作 f () () x gx + ，称为 f ( ) x 与 g x( ) 的和. （2）数乘 设 1 1 0 ( ) n n n n f x ax a x a − = + ++ − " ，c∈F . 定义数c 与多项式 f ( ) x 的乘法为 1 1 0 n n n n ca x ca x ca − + ++ − " , （3）乘法 设 1 1 0 1 1 0 () , () , n n n n m m m m f x ax a x a gx bx b x b − − − − = + ++ = + ++ " " 定义它们的乘法为

高等代数习题集a,bmx+m+(a,bm-+an--bm)x**m- +.+ Ea,b,x*+...+(ab+aob)x+aobi+i=记作f(x)g(x)，称为f(x)与g(x)的积3. 定理若f(x),g(x)eF[x]，则a(f(x)g(x) = af(x)+og(x),a(f(x)+ g(x)≤max(af(x),og(x)$1.3整除的概念整除定义1.设f(x),g(x)eF[x)，若存在h(x)eF[xl，使得f(x)= g(x)h(x),则称g(x)整除，记作g(x)If(x)2．整除性质设f(x),g(x),h(x)eF[x],0+ceF，则.f(x)If(x);clf(x);2若f(x)/g(x),g(x)|h(x)，则f(x)|h(x);若f(x)/g(x),g(x)/f(x),则f(x)=cg(x)，其中c为非零常数；;若f(x)lg(x)，i=1,2,,r,则f(x)l(u(x)gi(x)+u(x)g2(x)+...+u,(x)g,(x),其中u(x)，i=1,2,",r，是数域F上的任意多项式.3．带余除法对于任意两个多项式f(x),g(x)eF[x)，其中g(x)+0，一定存在F[x]中的多项式q(x),r(x)使得(1.3.1)f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立，其中Or(x)<og(x)或者r(x)=0，并且这样的q(x),r(x)是唯一的。g(x)称为-2-

高等代数习题集 - 2 - 1 1 1 10 01 00 ( ) () nm nm k nm nm n m i j i jk a b x a b a b x ab x ab ab x ab + +− − − + = + + ++ ++ + + " " ∑ 记作 f ()() xgx , 称为 f ( ) x 与 g x( ) 的积. 3．定理 若 f ( ), ( ) [ ] x gx x ∈F ，则 ( ( ) ( )) ( ) ( ), ( ( ) ( )) max( ( ), ( )). f xgx f x gx f x gx f x gx ∂ =∂ +∂ ∂ + ≤ ∂∂ §1.3 整除的概念 1. 整除定义 设 f ( ), ( ) [ ] x gx x ∈F ，若存在 hx x () [] ∈F ，使得 f () ()() x gxhx = , 则称 g x( ) 整除，记作 gx f x ( )| ( ). 2. 整除性质 设 f x gx hx x c ( ), ( ), ( ) [ ],0 ∈ ≠∈ F F ，则 z f ( )| ( ) x fx ； z cfx | () ； z 若 f ( ) | ( ), ( ) | ( ) x gx gx hx ，则 f ( )| ( ) x hx ； z 若 f ( ) | ( ), ( ) | ( ), x gx gx f x 则 f () () x cg x = ，其中c 为非零常数; z 若 ( ) | ( ), 1,2, , , i f x gx i r = " 则 11 2 2 ( ) | ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )), r r f x u xg x u xg x u xg x + + + " 其中 ( ) i u x ，i r =1,2, , " , 是数域F 上的任意多项式. 3．带余除法 对于任意两个多项式 f ( ), ( ) [ ] x gx x ∈F ，其中 g x() 0 ≠ ，一定存在F[ ] x 中的多项式 qx rx ( ), ( ) 使得 f () ()() () x qxgx rx = + （1.3.1） 成立，其中 ∂ <∂ rx gx () () 或者 r x() 0 = ，并且这样的 qx rx ( ), ( ) 是唯一的. q x( ) 称为

高等代数习题集g(x)除f(x)的商式，r(x)称为g(x)除f(x)的余式81.4最大公因式1.最大公因式定义设f(x),g(x)是F[x)中的任意两个多项式，F[x)中的多项式d(x)称为f(x),g(x)的最大公因式，如果它满足下面两个条件：1)d(x)是f(x),g(x)的一个公因式；2）f(x),g(x)的任一公因式是d(x)的因式2.引理如果等式f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立，则f(x),g(x)的公因式与g(x),r(x)的公因式相同。3.定理对于F[x]中的任意两个不全为0多项式f(x),g(x)，在F[x]中，它们有最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f(x),g(x)的一个组合，即有F[x)中多项式u(x),v(x)使d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) .4.互素定义设f(x),g(x)eF[x]，若(f(x),g(x)=1,则称f(x)与g(x)互素5.定理设f(x),g(x)eF[x],则f(x)与g(x)互素的充分必要条件是存在多项式u(x)和v(x)使得1=u(x)f(x)+v(x)g(x).6.推论(1) 设f(x)Ig(x),f(x)/g(x),且(f(x),f(x)=1,则 f(x)f(x)Ig(x)(2) 若(f(x),g(x))=1,且f(x)Ig(x)h(x),则f(x)|h(x).(3)若(f(x),g(x)=d(x), f(x)= d(x)f(x),g(x)=d(x)g(x),则(f(x),g(x)=1.(4）设(f(x),g(x))=d(x)且h(x)是首项系数为1的多项式，则(f(x)h(x),g(x)h(x)= d(x)h(x).(5) 若(f(x),gi(x)=1,(f(x),g2(x)=1, 则(f(x),g(x)g2(x))=1.-3

高等代数习题集 - 3 - g x( ) 除 f ( ) x 的商式，r x( ) 称为 g x( ) 除 f ( ) x 的余式. §1.4 最大公因式 1．最大公因式定义 设 f ( ), ( ) x gx 是F[ ] x 中的任意两个多项式，F[ ] x 中的多项式 d x( ) 称为 f ( ), ( ) x gx 的 最大公因式，如果它满足下面两个条件： 1）d x( ) 是 f ( ), ( ) x gx 的一个公因式； 2） f ( ), ( ) x gx 的任一公因式是 d x( ) 的因式. 2．引理 如果等式 f () ()() () x qxgx rx = + 成立，则 f ( ), ( ) x gx 的公因式与 gx rx ( ), ( ) 的公因式 相同. 3． 定理 对于F[ ] x 中的任意两个不全为 0 多项式 f ( ), ( ) x gx ，在F[ ] x 中, 它们有最大公因式 d x( ) ，且 d x( ) 可以表示成 f ( ), ( ) x gx 的一个组合，即有F[ ] x 中多项式ux vx ( ), ( ) 使 dx ux f x vxgx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + . 4． 互素定义 设 f ( ), ( ) [ ] x gx x ∈F ，若( ( ), ( )) 1 f x gx = ，则称 f ( ) x 与 g x( ) 互素. 5． 定理 设 f ( ), ( ) [ ] x gx x ∈F ,则 f ( ) x 与 g x( ) 互素的充分必要条件是存在多项式u x( ) 和 v x( ) 使得 1 () () ()() = + ux f x vxgx . 6．推论 （1）设 1 2 f ( ) | ( ), ( ) | ( ) x gx f x gx ，且 1 2 ( ( ), ( )) 1 fx fx = ，则 1 2 f ( ) ( )| ( ) xf x gx . （2）若( ( ), ( )) 1 f x gx = ，且 f ( ) | ( ) ( ), x gxhx 则 f ( )| ( ) x hx . （3）若 1 1 ( ( ), ( )) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) f x gx dx f x dx f x gx dxg x == = ，则 1 1 ( ( ), ( )) 1 fxgx = . （4）设( ( ), ( )) ( ) f x gx dx = 且 h x( ) 是首项系数为 1 的多项式，则 ( ( ) ( ), ( ) ( )) ( ) ( ) f xhx gxhx d xhx = . （5）若 1 2 ( ( ), ( )) 1,( ( ), ( )) 1 fx gx fxg x = = ，则 1 2 ( ( ), ( ) ( )) 1 f x g xg x =

高等代数习题集$1.5因式分解定理1.（不）可约多项式定义设f(x)是数域F上次数大于零的多项式，如果f(x)可以分解成两个次数比它低的数域F上多项式的乘积，则称f(x)为数域F上的可约多项式；否则称为数域F上的不可约多项式.2.定理若P(t)是数域F上的不可约多项式，(x),g(x)eF[x]，且P(x)If(x)g(x)，则或者P(x)If(x), 或者 P(x)Ig(x),3.推论设P(t)是不可约多项式，且P(x)I.(x)(x) .(x),则P(x)必整除其中之一:4.定理设(x)是数域F上次数大于零的多项式，则(x)可分解为F上不可约多项式的乘积；若f(x)=p(x)p2(x).p,(x)=qi(x)q2(x).q,(x)是(x)的两个不可约分解，即P(x),9,()都是F上次数大于零的不可约多项式，则S=1,且经过适当调换因式的顺序后，有p,(x)=c,q,(x),i=1,2,,s其中c是F中的非零数.5.重因式定义不可约多项式p(x)称为多项式f(x)的k重因式，如果p*(x)IJ(x)，而pk+(x)/f(x).当k=0时，p(x)可能不是f(x)的因式：当k=1时，p(x)称为f(x)的单因式；当k≥2时，p(x)称为f(x)的重因式6.定理如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k≥1),那么它是f(x)的k-1重因式7.推论(1)如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式（k≥1 ），那么p(x)是f(x),f(x),,J(k-"(x)的因式，但不是()(x)的因式-4-

高等代数习题集 - 4 - §1.5 因式分解定理 1．（不）可约多项式定义 设 f ( ) x 是数域F 上次数大于零的多项式，如果 f ( ) x 可以分解成两个次数比它低的数域 F 上多项式的乘积，则称 f ( ) x 为数域F 上的可约多项式; 否则称为数域F 上的不可约多项 式. 2．定理 若 p( ) x 是数域F 上的不可约多项式， f ( ), ( ) [ ] x gx x ∈F ，且 p( )| ( ) ( ) x f xgx ，则或 者 p( )| ( ) x fx ，或者 p( )| ( ) x gx . 3． 推论 设 p( ) x 是不可约多项式，且 1 2 ( )| ( ) ( ) ( ) m p x f xf x f x " ,则 p( ) x 必整除其中之一. 4． 定理 设 f ( ) x 是数域F 上次数大于零的多项式，则 f ( ) x 可分解为F 上不可约多项式的乘积； 若 1 2 12 () () () () () () () s t f x p xp x p x q xq x q x = = " " 是 f ( ) x 的两个不可约分解，即 ( ), ( ) i j p xqx 都是F 上次数大于零的不可约多项式，则 s t = ， 且经过适当调换因式的顺序后，有 ( ) ( ), 1,2, , i ii p x cq x i s = = " , 其中 i c 是F 中的非零数. 5．重因式定义 不可约多项式 p( ) x 称为多项式 f ( ) x 的 k 重因式 ， 如 果 ( )| ( ) k p x fx , 而 1 ( )| ( ) k p x fx + / .当 k = 0 时， p( ) x 可能不是 f ( ) x 的因式；当 k =1时， p( ) x 称为 f ( ) x 的 单因式；当k ≥ 2 时， p( ) x 称为 f ( ) x 的重因式. 6.定理 如果不可约多项式 p( ) x 是 f ( ) x 的 k 重因式（ k ≥1），那么它是 f '( ) x 的 k −1重因式. 7.推论 (1) 如果不可约多项式 p( ) x 是 f ( ) x 的 k 重因式（ k ≥1 ）,那么 p( ) x 是 ( 1) ( ), '( ), , ( ) k f xfx f x " − 的因式，但不是 ( ) ( ) k f x 的因式

高等代数习题集(2)不可约多项式p(x)是f(x)的重因式的充分必要条件为p(x)是f(x)f(x）的公因式.(3）多项式f(x)没有重因式的充分必要条件是(f(x),f(x))=1.81.6多项式函数1．多项式函数定义设f(x)=a,x"+an-x"- ++ao是Fxl中的多项式，其中记号x表示在F取值的变量α是F中的数，在（1.6.1）中用α替代x所得的数f(α)=a,α"+a.-α"- +...+ao称为f(x)在x=α的值，记作f(α).如果f(x)在x=α时函数值f(α)=0,那么x=α称为f(x)的一个根或零点由上述确定的函数称为数域F上的多项式函数2.（余数定理）用一次多项式x一α去除多项式f（x)，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f(α).3.推论x=α是f(x)的根的充分必要条件是(x-α)Lf(x)4.定理F[x]中的n次多项式（n≥O)在数域F中的根不可能多于n个，重根按重数计算5.定理如果多项式f(x),g(x)的次数都不超过n，而它们对n+1个不同的数αi,α2,αn+有相同的值，即f(α,)=g(α,), i=1,2,..,n+1,那么f(x)=g(x)s1.7复系数与实系数多项式的因式分解1.代数基本定理-5

高等代数习题集 - 5 - （2） 不可约多项式 p( ) x 是 f ( ) x 的重因式的充分必要条件为 p( ) x 是 f ( ) x f '( ) x 的公因式. （3） 多项式 f ( ) x 没有重因式的充分必要条件是( ( ), '( )) 1 fx f x = . §1.6 多项式函数 1． 多项式函数定义 设 1 1 0 ( ) n n n n f x ax a x a − = + ++ − " 是F[ ] x 中的多项式，其中记号 x 表示在F 取值的变量. α 是F 中的数，在（1.6.1）中用 α 替代 x 所得的数 1 1 0 ( ) n n n n f αα α aa a − = + ++ − " 称为 f ( ) x 在 x =α 的值，记作 f ( ) α .如果 f ( ) x 在 x＝α 时函数值 f () 0 α = ，那么 x＝α 称 为 f ( ) x 的一个根或零点. 由上述确定的函数称为数域F 上的多项式函数. 2．（余数定理） 用一次多项式 x −α 去除多项式 f ( ) x ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值 f ( ) α . 3．推论 x＝α 是 f ( ) x 的根的充分必要条件是( )| ( ) x −α f x . 4. 定理 F[ ] x 中的 n 次多项式( 0) n ≥ 在数域F 中的根不可能多于 n 个，重根按重数计算. 5.定理 如果多项式 f ( ), ( ) x gx 的次数都不超过 n ， 而它们对 n +1个不同的数 12 1 , α α α " n+ 有 相同的值，即 ( ) ( ), 1,2, , 1 i i f α = gi n α = + " , 那么 f () () x gx = . §1.7 复系数与实系数多项式的因式分解 1. 代数基本定理