二次型第九章9.1二次型和对称矩阵9.2复数域和实数域上的二次型9.3正定二次型9.4主轴问题
第九章 二次型 9.2 复数域和实数域上的二次型 9.3 正定二次型 9.1 二次型和对称矩阵 9.4 主轴问题
9.1二次型和对称矩阵一、内容分布9.1.1二次型及矩阵9.1.2二次型的线性变换9.1.3矩阵的合同9.1.4二次型的标准形二、重点、难点合同、线性变换、二次型的标准形
9.1 二次型和对称矩阵 一、内容分布 9.1.2二次型的线性变换 9.1.3 矩阵的合同 二、重点、难点 合同、线性变换、二次型的标准形 9.1.1 二次型及矩阵 9.1.4 二次型的标准形
9.1.1二次型及矩阵定义1设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式(1)q(x1, X2, *, ,)=-aux+a222.+amx?+2a12xjx2+2a13xjx3+...2an-1nxn-1xn叫作F上的一个元二次型F上n元多项式总可以看成F上的n个变量的函数，二次型（1）定义了一个函数qFn一F，所以n元二次型也叫n个变量的二次型.在(1)中令a,=a,(1≤ij≤n),因为xx=xx;，所以(1)式可以写成以下形式：
9.1.1 二次型及矩阵 定义1 设F是一个数域, F上n元二次齐次多项式 叫作F上的一个元二次型. (1) q(x1, x2, ⋯, xn)=a11x1 2+a22x2 2+⋯+annxn 2 +2a12x1x2 +2a13x1x3+⋯2an-1,nxn-1xn F 上n 元多项式总可以看成 F 上的n 个变量的函数,二次型(1) 定义了一个函数q:F n ⟶ F , 所以n 元二次型也叫n 个变量的二 次型. 在(1)中令aij =aji(1≤i,j≤n),因为xi xj =xj xi , 所以(1)式可以写成以 下形式：
q(x,2,x,)=22(2)a,x,xj,aj=ajii==令A=(a）是(2)式右端的系数所构成的矩阵，称为二次型q(x,x2,…xn）的矩阵.因为a,=ai，所以A是F上的一个n阶对称矩阵，利用矩阵的乘法2）式可以写成X(3)q(X,X2,.",x)=(x,x2,.,x,)A·Xn二次型（3）的秩指的就是矩阵A的秩
令A=(aij)是(2)式右端的系数所构成的矩阵,称为二次型 q(x1, x2, ⋯, xn)的矩阵.因为aij =aji ,所以A是F上的一个n 阶对称 矩阵，利用矩阵的乘法,(2)式可以写成 1 2 1 1 (2) ( , , , ) , n n n ij i j ij ji i j qx x x axx a a = = = ∑∑ = 1 2 1 2 1 2 (3) ( , , , ) ( , , , ) n n n x x qx x x x x x A x = 二次型(3)的秩指的就是矩阵A的秩
9.1.2二次型的线性变换如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换：(4)x,=Zpjyj,i=1,2,.,nP,F(1<ijsn),那么就得到一个关于yi,y2,y,的二次型qyi,Y2, ", yn.(4)式称为变量的线性变换，令P=(p)是(4)的系数所构成的矩阵，则（4）可以写成XJiX2y2=P(5).yn吉
如果对二次型(3)的变量施行如下的一个变换： pij∊F (1≤i,j≤n),那么就得到一个关于y1, y2, ⋯,yn的二次型q ʹ(y1, y2, ⋯, yn). 1 (4) , 1,2, , n i ij j j x pyi n = = = ∑ (4)式称为变量的线性变换,令P=(pij)是(4)的系数所构成 的矩阵，则(4)可以写成 1 1 2 2 (5) n n x y x y P x y = 9.1.2二次型的线性变换