《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章 级数_1202常数项级数的审敛法

3、比值审敛法S设u,是正项级数,定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）n=1unl =p,则如果lim（1）当p<1时级数收敛：1>00ur(2)当p>1时级数发散；(3当p=1时不能确定证（1）当p<1时，取一个充分小的正数ε，使p+ε=r<1,"l=p，由极限定义知,对于正数s,存在正整数 N，当n>N时,因limn-→00u."ml-p<s,即p-6<"<p+ε=r,于是有ununUn+2 <run+1, un+3 <run+2 <r'un+1, un+4 <run+3 <r'un+1,因级数run+ +r"uN+I +r'un+I +..收敛,故uN+2 + un+3 +uN+4 +..收敛,u, +u, +u, +...也收敛000811个不高教学教学部不不不

高等数学教学部 11 , 1 3 N 4  N 3  uN  uN 2  ruN 1 , , u ru r 1 2 N 3  N 2  uN  u ru r 

(2）当p>1时，取一个充分小的正数ε，使p-ε=r>1,"ml=p，由极限定义知，对于正数s，存在正整数 N,当n>N因limn->00UnUn+1-p<s,即r=p-s<"ml<p+s,于是时，有unu.un+2 >run+1, un+3 >run+2 >r'un+1, un+4 > run+3 >r'un+1,...因级数run+ +r"uN+ +r'un+I +· 发散,故uN+2 +uN+3 +un+4 +...发散,u, +uz +u, +...也发散11-1. 而级数之发n+1（3）当p=1时，如lim"发散；1n-00n=inn1(n +1)00收敛又如lim而级数1.1n-00n=inn?00812个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 12 , 1 3 N 4  N 3  uN  uN 2  ruN 1 , , u ru r 1 2 N 3  N 2  uN  u ru r 

-例7判断下列级数的收敛性"+22（2)20：(3)(1)福2n-1-12%(5) 2m((4)(x ≥ 0)n1=111(n + 1)!1Un+1Z(1)解lim=lim=lim= 0, 级数收敛；R1n!n-→ n +11-00n->00un1-1n!S(2)(n + 1)!n+110″+1Un+1lim= lim=+8,lim=级数发散；n!10n-00n-00n-→00Un10"00813个不不高等数学教学部不不不

高等数学教学部 13 n n n u u 1 lim   ! 1 ( 1)! 1 lim n n n    1 1 lim   n n  0, n n n u u 1 lim   n n n n n 10 ! 10 ( 1)! lim 1    10 1 lim    n n  

80n+ 2(3)22nn=ln+3n+321+1Wn+1lim= limlim二级数收敛：n-0 n+ 2n->00 2(n + 2)n-00Un22"(n + 1)!(n +1)n+180n.n+1(4)2= limlim= lim级数收敛：n!n-00n->00n->0nun=1(1 +n"00814个个个高等数学教学部不不不

高等数学教学部 14 n n n u u 1 lim   n n n n n 2 2 2 3 lim 1      2( 2) 3 lim     n n n , 2 1      1 2 2 (3) n n n n n n u u 1 lim   n n n n n n n ! ( 1) ( 1)! lim 1     n n n ) 1 (1 1 lim    , 1 e    1 ! (4) n n n n