线性代数 - 线性变换的运算

西要毛子科技大枣XIDIAN UNIVERSITYS 7.2线性变换的运算一、线性变换的乘积二、线性变换的和三、线性变换的数量乘法四、线性变换的逆五、线性变换的多项式

一、线性变换的乘积 二、线性变换的和 §7.2 线性变换的运算 三、线性变换的数量乘法 四、线性变换的逆 五、线性变换的多项式

西安毛子科技大枣XIDIAN UNIVERSITY线性变换的乘积1.定义设,T为线性空间V的两个线性变换，定义它们的乘积t为:(αt)(α)=((α)),VαV则T也是V的线性变换事实上, (t)(α+β) =(t(α+β))=(t(α)+(β)= α(t(α))+α(t(β) = (αt)(α) +(αt)(β),(ot)(kα) = α(t(kα) = o(kt(α) = ko(t(α) = k(t)(α)

一、 线性变换的乘积 1．定义 设  , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 事实上， ( )( ) ( ( )) ( ( ) ( ))             + = + = + 的乘积  为： (      )( ) =   ( ( )), V 则  也是V的线性变换. = + = +           ( ( )) ( ( )) ( )( ) ( )( ), ( )( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )( )              k k k k k ====

西要毛子科技大枣XIDIANUNIVERSITY2.基本性质(ot)s =α(t8)（1）满足结合律：（2）Eα=E=，E为单位变换（3）交换律一般不成立，即一般地OT ≠ TO

２．基本性质 （1）满足结合律： (    ) = ( ) （2） E E    = = ，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，   

西要毛子科技大枣XIDIAN UNIVERSITY例1.线性空间R[x]中，线性变换D(f(x)= '(x)(f(x))= fJ(t)dt(DJ)(f(x)= D(J. f(t)dt)= f(x),，即DJ=E.而,(JD)((x)= J(F'(x) = f f'(t)dt = f(x)- f(0).. DJ + JD

例1. 线性空间 R x[ ] 中，线性变换 D f x f x ( ( )) = ( ) ( )( ( )) ( ( ) ) ( ) 0 , x DJ f x D f t dt f x = =  ( )( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 0 0 x JD f x J f x f t dt f x f = = = −    而，   DJ JD. ( ( )) ( ) 0 x J f x f t dt =  即 DJ E =

西要毛子科技大枣XIDIANUNIVERSITY例2.设A、BEPnxn为两个取定的矩阵，定义变换(X) = AX,VX e pnxnt(X) = XB,则,t 皆为pnxn的线性变换，且对VXe Pnxn,有(ot)(X) = α(t(X)) = α(XB) = A(XB) = AXB(t)(X) = t(α(X) = t(AX) = (AX)B = AXBot = to

 ( ) , X AX = 例2. 设A、B 为两个取定的矩阵，定义变换 n n P   则  , 皆为 P n n 的线性变换，且对   X Pn n , 有 ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) ,     X X XB A XB AXB = = = = ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) .     X X AX AX B AXB = = = =  ( ) , X XB = n n X P     =  