1X1+a21k2+…+an1xr=0 12x1+a2x2+…+an2Xr=0 a1nX1+a2nx2+…+amX=0 只有零解.对应的系数矩阵 12 n 的行秩≥r,向量组中存在r个线性无关的向量, 不妨设为
6 0 0 0 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 + + + = + + + = + + + = n n r n r r r r r a x a x a x a x a x a x a x a x a x 只有零解. 对应的系数矩阵 r, n n rn r r a a a a a a a a a 1 2 12 22 2 11 21 1 的行秩 向量组中存在r 个线性无关的向量， 不妨设为
119215 ,an1)2(a1 129u225 ),……( 92r 将其扩成矩阵(2)的列向量 119u21,ur1 ,c,1),(a12,a2,…,an2 9s2 91r,u2r9 仍线性无关.从而有矩阵A的列秩≥F 用同样的方法可以证明r≥2定理得证 矩阵的行秩和列秩都称为矩阵的秩
7 ( , , , ),( , , , ), ,( , , , ) a11 a21 ar1 a12 a22 ar2 a1r a2r arr 将其扩成矩阵（2）的列向量 ,( , , , , ) ( , , , , ),( , , , , , ), 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 r r r r s r r s r s a a a a a a a a a 仍线性无关. 从而有矩阵A的列秩 . 1 r r 用同样的方法可以证明 , 1 r r 定理得证. 矩阵的行秩和列秩都称为矩阵的秩
定理5n×n矩阵 12 21 22 2n 2 n 的行列式为零的充分必要条件是矩阵A的秩小于n 证明充分性 因为A的秩小于n,所以A的行向量线性相关 当n=1时,A只有一个数,由相关性知,an1=0 从而|A4=0=0
8 定理5 nn 矩阵 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 的行列式为零的充分必要条件是矩阵A的秩小于n. 证明 充分性 因为A的秩小于n，所以A的行向量线性相关. 当n=1时，A只有一个数，由相关性知， a11 = 0 从而 A = 0 = 0
当n>1时,A中有一行可以表为其它行的线性组 合,据此,这行可以被消成0 由行列式性质知=0 证明必要性对n作数学归纳法 当n=1时,由A4=0知A的仅有的一个元素为0 因而A的秩为0 假设A的第一列非零(否则,得证).不妨设a1≠0 有 12 0 22 2n 11 0 n2
9 当 n >1时，A中有一行可以表为其它行的线性组 合，据此，这行可以被消成 0 . 由行列式性质知 A = 0. 证明必要性 对n 作数学归纳法 当n =1时，由 A = 0 知A的仅有的一个元素为 0 . 因而A的秩为 0 . 假设A的第一列非零（否则，得证）. 不妨设 a11 0 有 n nn n n nn n n a a a a a a a a a a a a A = = 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 0 0
22 2n 由 0 n2 有 n-1 0 由归纳法假设,矩阵A1的行向量组线性相关 注意线性相关向量组的性质和初等变换的可逆性 A的行向量组线性相关,A的秩小于n 必要性得证
10 0 ~ 1 1 1 2 2 2 2 1 1 = = = n− n nn n a A a a a a A a 由 0 ~ 有 An−1 = 由归纳法假设，矩阵 1 的行向量组线性相关 . ~ An− 注意线性相关向量组的性质和初等变换的可逆性. 必要性得证. A的行向量组线性相关，A的秩小于 n