注意：定理1的逆定理不成立.即： 偏导数存在函数不一定可微！ 反联川+22 易知∫x(0,0)=fv(0,0)=0,但 △z-[fx(0,0)Ax+f,(0,0)Ay= △x△y (+(A) △xAy △x△y PAAAr0 ≠0(P)因此，函数在，点(0,0)不可微 2009年7月5日星期日 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月5日星期日 6 目录 上页 下页 返回 反例: 函数 f x y),( = 易知 = = ,0)0,0()0,0( x y f f 但 z f x f y])0,0()0,0([ Δ − x Δ + y Δ ≠ o ρ )( 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意 : 定理1 的逆定理不成立 . 2 2 yx )()( x y Δ+Δ Δ Δ 2 2 yx )()( x y Δ+Δ Δ Δ = 22 yx )()( x y Δ+Δ Δ Δ = ρ 0 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: , 0 22 22 ≠+ + yx yx yx ,0 0 22 yx =+
定理2（充分条件）若函数z=f(x,y)的偏导数 Ox'ay 在点(x,y)连续，则函数在该点可微分 证：A2=f(x+Ax,y+△y)-f(x,y) =[f(x+△x,y+Ay)-f(x,y+△y〗 +[f(x,y+△y)-f(x,y)] =fx(x+Ax,y+Ay)Ax+f(x,y+e2Ay)Ay 0<01,02<1) =[fx(x,y)+a]Ax +[fy(x,y)+B]Ay a-0,B-9 △x-→0 Ax→0 △y-→0 Ay-→0 2009年7月5日星期日 7 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月5日星期日 7 目录 上页 下页 返回 = f + Δxx y + Δ y ] ),([ y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ , 证：Δ z = f + Δxx y + Δ y − f x y),(),( )1,0( < θ θ 21 < f x y x = x + ]),([ Δ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ f yyyx = f x + θ1 Δxx y + Δ y),( Δ x + y + θ 2 Δ ),( Δ − f x y + Δ y),( + f x y + Δ y),( − f x y)],( [ f x yy + y + ]),([ Δ 若函数 z = f yx ),( 的偏导数 在点 yx 连续,),( 则函数在该点可微分. α β 0lim 0 0 = →Δ →Δ β y x ,0lim 0 0 = →Δ →Δ α y x 定理2 (充分条件 )