as,=nA, sin(x+B,=(A sin(x+BESIxI S[x是一个线性空间 般地 例5在区间[,b上全体实连续函数,对函数的 加法与数和函数的数量乘法,构成实数域上的线性 空间
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 λs = λA sin x + B = λA sin x + B ∈ S [ x ] ∴ S[x] 是一个线性空间. 一般地 例５ 在区间 上全体实连续函数，对函数的 加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性 空间． [a,b]
(2)一个集合,如果定义的加法和乘数运 算不是通常的实数间的加乘运算,则必需检验是 否满足八粲线性沄算规律. 例6正实数的全体,记作R+,在其中定义加法 及乘数运算为 a⊕b=mb,oa=a2,(L∈R,a,b∈R+) 验证R+对上述加法与乘数运算构成线性空间 证明Va,b∈R,→ab=mb∈Rt; V九∈R,a∈R+,→4oa=a2∈R 所以对定乂的加法与乘数运算封闭
例６ 正实数的全体，记作 ，在其中定义加法 及乘数运算为 + R , ,( , , ). + a ⊕ b = ab λ a = a λ ∈ R a b∈ R λ o （２）一个集合，如果定义的加法和乘数运 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律． a ⊕ b = ab, λ o a = a ,(λ ∈ R,a,b∈ R ). 验证 R+ 对上述加法与乘数运算构成线性空间． 证明 , , ; + + ∀a b∈ R ⇒ a ⊕ b = ab∈ R , , . + + ∀ ∈ R a ∈ R ⇒ a = a ∈ R λ λ λ o 所以对定义的加法与乘数运算封闭．
下面一一验证八粲线性运算规律: (1)a⊕b=ab=ba=b⊕a (2)(ab)⊕c=(mb)c=(ab)e=at(b⊕c); (3)R中存在零元素1,对任何a∈R+,有 aeI=a·1 (4)Va∈R+,有负元素a∈Rt,使 · 1;
下面一一验证八条线性运算规律： (1) a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a; (2)(a ⊕ b) ⊕ c = (ab)⊕ c = (ab)c = a ⊕ (b ⊕ c); )3( R+中存在零元素 ,1 对任何a ∈ R+ ,有 a ⊕1 = a ⋅1 = a; )4( ∀a ∈ R+ ,有负元素a−1 ∈ R+ ,使 1; 1 1 ⊕ = ⋅ = − − a a a a
(5)1oa=a (6)(uoa)=2oa2=(a2)2=aW=(4) (7)(+1)。a=a4+=a2a oa⊕μoa; 8)o(a0b)=no(ab)=ab=ab ax⊕b=。a⊕九ob 所以R+对所定义的运算构成线性空间
1)5( ; 1 o a = a = a )6( λ o(µ o a) λ o a (a ) a (λµ)o a; λµ λ µ µ = = = = ( ) ; )7( a a a a a a a a o o o λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ = ⊕ + = = = ⊕ + = λ o a ⊕ µ o a; ( )λ λ λ )8( λ o(a ⊕b) = λ o(ab) = ab = a b 所以 R+ 对所定义的运算构成线性空间． a b λ o a λ o b. λ λ = ⊕ = ⊕
线性空间的性质 1.零元素是唯一的 证明假设01,02是线性空间V中的两个霁元 素,则对任何a∈V有 c+01=a,+02=. 由于01,02∈V, 所以02+01=02,01+02=01 →01=01+02=02+01=02
1．零元素是唯一的． 证明 假设 是线性空间V中的两个零元 素， 1 02 0 , 则对任何 α ∈V ，有 二、线性空间的性质 0 , 0 . α + 1 = α α + 2 = α 由于0 ,0 , 1 2 ∈V 所以 0 0 0 ,0 0 0 . 2 + 1 = 2 1 + 2 = 1 0 0 0 0 0 0 . ⇒ 1 = 1 + 2 = 2 + 1 = 2