第四讲补充题解答 1.证明:一个n阶矩阵中0元素的数量大于n2-n,则该矩阵的行列式必为0 证:n阶方阵有n2个元素,若矩阵中0元素个数大于n2-n个,则非零元素的个数小于n个,根据 行列式定义可知:行列式表示成n!个项的和,其中每一项为矩阵中不同行、不同列的n个元素 的乘积,当矩阵中非零元素个数小于n时,任一项的n个元素中至少包含一个0元素,因此任 何项均为0,因此该矩阵的行列式必为0 2.设n阶矩阵A,B分别如下 a21 a11 36 a2nb-(n-2) b2 (n-3) [(a1b-)] ann 证明:det(A)=det(B) 证:设P为所有n阶排列构成的集合.由行列式定义,写出det(B) det(b)= (-1) 1-n)(a2 jj2…in∈p ∑(-1)0-)a1nay2…anb4+2+-+)0+++) j1j2…n∈P (-1)rn2-yn) a1i1a2…amin=det(A jj2…jn∈P 3.考察矩阵A∈RnXn的n(n≥3)阶行列式,证明:det(A)的n!项中若有负项目(元素的符号计 算在内,则当n=3时,负项个数必为奇数;当n>3时,负项个数必为偶数 证:n阶矩阵的行列式可表示为n!项之和,其中每一项为n个数的乘积,设这n!项为c1,e2,,cn, 将这些项的乘积记为M,即, M=Ⅱe=(-1)2(a112a1n…a2m…am)o-1) 当n=3时,M<0,若c1,c2,,c6中存在负项,则项数一定是奇数 当n>3时,M≥0,若c1,C2,,cn中存在负项,则项数一定是偶数 4.证明:以下的2013阶行列式不等于零 2012 20132 20122012201320 2014201220142012 2014201 2014
第四讲补充题解答 1. 证明: 一个n 阶矩阵中 0 元素的数量大于 n 2 − n, 则该矩阵的行列式必为 0. 证: n 阶方阵有 n 2 个元素, 若矩阵中 0 元素个数大于 n 2 − n 个, 则非零元素的个数小于 n 个, 根据 行列式定义可知: 行列式表示成 n! 个项的和, 其中每一项为矩阵中不同行、不同列的 n 个元素 的乘积, 当矩阵中非零元素个数小于 n 时, 任一项的 n 个元素中至少包含一个 0 元素, 因此任 何项均为 0, 因此该矩阵的行列式必为 0. 2. 设 n 阶矩阵 A, B 分别如下: A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann , B = a11 a12b −1 a13b −2 · · · a1nb −(n−1) a21b a22 a23b −1 · · · a2nb −(n−2) a31b 2 a32b a33 · · · a3nb −(n−3) . . . . . . . . . . . . an1b n−1 an2b n−2 an3b n−3 · · · ann = aij b i−j 证明: det (A) = det (B). 证: 设 P 为所有 n 阶排列构成的集合. 由行列式定义, 写出 det (B): det (B) = X j1j2···jn∈P (−1)τ(j1j2···jn) a1j1 b 1−j1 a2j2 b 2−j2 · · · anjn b n−jn = X j1j2···jn∈P (−1)τ(j1j2···jn) a1j1 a2j2 · · · anjn b (1+2+···+n)−(j1+j2+···+jn) = X j1j2···jn∈P (−1)τ(j1j2···jn) a1j1 a2j2 · · · anjn = det (A) 3. 考察矩阵 A ∈ R n×n 的 n(n ≥ 3) 阶行列式, 证明: det (A) 的 n! 项中若有负项目(元素的符号计 算在内), 则当 n = 3 时, 负项个数必为奇数; 当 n > 3 时, 负项个数必为偶数. 证: n 阶矩阵的行列式可表示为 n! 项之和, 其中每一项为 n 个数的乘积, 设这 n! 项为 c1, c2, . . . , cn! , 将这些项的乘积记为 M, 即, M = Yn! i=1 ci = (−1)n!/2 (a11a12 · · · a1n · · · a2n · · · ann) (n−1)! 当 n = 3 时, M ≤ 0, 若 c1, c2, . . . , c6 中存在负项, 则项数一定是奇数. 当 n > 3 时, M ≥ 0, 若 c1, c2, . . . , cn! 中存在负项, 则项数一定是偶数. 4. 证明: 以下的 2013 阶行列式不等于零. 1 2 · · · 2012 2013 2 2 3 2 . . . 20132 20142 . . . . . . . . . . . . . . . 20122012 20132013 . . . 20142012 20142012 20132013 20142013 · · · 20142013 20142013
证:该2013阶矩阵次对角元分别为:2013,20132,2013,,20132013,都是奇数,则该次对角元素 的乘积是奇数,它是该矩阵行列式中的其中一项,而行列式中其它各乘积项中至少包含该次对 角元右下侧重中的一个元素2014,它是偶数,对应的这些乘积项都是偶数,整个行列式是奇数 因此,该2013阶行列式一定不等于零 5.计算f(x+1)-f(x),其中 C00 0 0 0 0 0 0x3 f(r) 0 m+1 Cn+1 Cn+1 c C.是组合数,C 少分(人=1,2,,m+1:j=0,1,2, n-1;j<k) 解: 0 000 000 x+1 (x+1)3 f(x+1)-f(x) 2-1 0(x+1) Cm-1(x+1)n M+1 Cn+1 Cn+1 Cr +1 1(x+1)y+1 0 000 000 n+1 cn+ ci-I 1cn+1 0 0 +000 1 0(x+1)n-1-mn-1
证: 该 2013 阶矩阵次对角元分别为: 2013, 20132 , 20133 , . . . , 20132013 , 都是奇数, 则该次对角元素 的乘积是奇数, 它是该矩阵行列式中的其中一项, 而行列式中其它各乘积项中至少包含该次对 角元右下侧重中的一个元素 2014j , 它是偶数, 对应的这些乘积项都是偶数, 整个行列式是奇数. 因此, 该 2013 阶行列式一定不等于零. 5. 计算 f(x + 1) − f(x), 其中 f(x) = C 0 1 0 0 0 · · · 0 x C 0 2 C 1 2 0 0 · · · 0 x 2 C 0 3 C 1 3 C 2 3 0 · · · 0 x 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 0 n−1 C 1 n−1 C 2 n−1 C 3 n−1 · · · 0 x n−1 C 0 n C 1 n C 2 n C 3 n · · · C n−1 n x n C 0 n+1 C 1 n+1 C 2 n+1 C 3 n+1 · · · C n−1 n+1 x n+1 C j k 是组合数, C j k = k! (k − j)!j! (k = 1, 2, . . . , n + 1; j = 0, 1, 2, . . . , n − 1; j < k). 解: f(x + 1) − f(x) = C 0 1 0 0 0 · · · 0 x + 1 C 0 2 C 1 2 0 0 · · · 0 (x + 1)2 C 0 3 C 1 3 C 2 3 0 · · · 0 (x + 1)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 0 n−1 C 1 n−1 C 2 n−1 C 3 n−1 · · · 0 (x + 1)n−1 C 0 n C 1 n C 2 n C 3 n · · · C n−1 n (x + 1)n C 0 n+1 C 1 n+1 C 2 n+1 C 3 n+1 · · · C n−1 n+1 (x + 1)n+1 − C 0 1 0 0 0 · · · 0 x C 0 2 C 1 2 0 0 · · · 0 x 2 C 0 3 C 1 3 C 2 3 0 · · · 0 x 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 0 n−1 C 1 n−1 C 2 n−1 C 3 n−1 · · · 0 x n−1 C 0 n C 1 n C 2 n C 3 n · · · C n−1 n x n C 0 n+1 C 1 n+1 C 2 n+1 C 3 n+1 · · · C n−1 n+1 x n+1 = C 0 1 0 0 0 · · · 0 1 C 0 2 C 1 2 0 0 · · · 0 (x + 1)2 − x 2 C 0 3 C 1 3 C 2 3 0 · · · 0 (x + 1)3 − x 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 0 n−1 C 1 n−1 C 2 n−1 C 3 n−1 · · · 0 (x + 1)n−1 − x n−1 C 0 n C 1 n C 2 n C 3 n · · · C n−1 n (x + 1)n − x n C 0 n+1 C 1 n+1 C 2 n+1 C 3 n+1 · · · C n−1 n+1 (x + 1)n+1 − x n+1
00 1 Ca r2 C3 C3 0 2+1C2 0 0 0 n+1 n2+1C3 Cn+1 Cn+1a a1 a2 其中a1,a2,,an-1是互不相同的数,证明:f(x)是关于x的m-1次多项式,并求f(x)的根 证:将行列式按第一行展开,得 f(r A 其中,A1i为第一行中各元素对应的代数余子式(=1,2,,n),显然,A1与x无关,因此f(x) 是n-1阶的多项式 令x分别为a1,a2,,an-1,此时行列式中出现相同的两行,根据行列式性质,有f(a)=0 (=1,2,,n-1),说明a(=1,2, 1)是f(x)=0的根 7.求n阶行列式 11
= C 0 1 0 0 0 · · · 0 1 C 0 2 C 1 2 0 0 · · · 0 X 1 i=0 C i 2x i C 0 3 C 1 3 C 2 3 0 · · · 0 X 2 i=0 C i 3x i . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 0 n−1 C 1 n−1 C 2 n−1 C 3 n−1 · · · 0 nX−2 i=0 C i n−1x i C 0 n C 1 n C 2 n C 3 n · · · C n−1 n nX−1 i=0 C i nx i C 0 n+1 C 1 n+1 C 2 n+1 C 3 n+1 · · · C n−1 n+1 Xn i=0 C i n+1x i ==================== Cn+1−(xi−1)∗Ci,(i=1,2,...,n) C 0 1 0 0 0 · · · 0 0 C 0 2 C 1 2 0 0 · · · 0 0 C 0 3 C 1 3 C 2 3 0 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 0 n−1 C 1 n−1 C 2 n−1 C 3 n−1 · · · 0 0 C 0 n C 1 n C 2 n C 3 n · · · C n−1 n 0 C 0 n+1 C 1 n+1 C 2 n+1 C 3 n+1 · · · C n−1 n+1 C n n+1x n = x n nY +1 i=1 C i−1 i 6. 设 f(x) = 1 x x2 · · · x n−1 1 a1 a 2 1 · · · a (n−1) 1 1 a2 a 2 2 · · · a (n−1) 2 . . . . . . . . . . . . 1 an−1 a 2 n−1 · · · a n−1 n−1 其中 a1, a2, . . . , an−1 是互不相同的数, 证明: f(x) 是关于 x 的 n − 1 次多项式, 并求 f(x) 的根. 证: 将行列式按第一行展开, 得 f(x) = Xn i=1 A1i 其中, A1i 为第一行中各元素对应的代数余子式(i = 1, 2, . . . , n), 显然, A1i 与 x 无关, 因此 f(x) 是n − 1阶的多项式. 令 x 分别为 a1, a2, . . . , an−1, 此时行列式中出现相同的两行, 根据行列式性质, 有 f(ai) = 0 (i = 1, 2, . . . , n − 1), 说明 ai(i = 1, 2, . . . , n − 1) 是 f(x) = 0 的根. 7. 求 n 阶行列式 1 −1 · · · −1 −1 1 1 . . . −1 . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1 −1 1 1 · · · 1 1
展开后的正项总数 解: 1-1 按行列式定义,该行列式中各项为+1或-1,因此 正项数-负项数=21-1,正项数+负项数=总项数=n! 因此正项总数=1(2-1+n)=2=2+n 8.计算下列行列式 a (a).D4=201202-9998(b.D2=|ax 1-1 解:(a) 21 =100 200200-100100 1111 12 0-3-15 100/00-1-3 (-100) 112530 Dn坐土=2=(x+(m-1)o. a T 0 r-a (x+(n-1)a) (a-a)+na(a-a (c).D
展开后的正项总数. 解: 1 −1 · · · −1 −1 1 1 . . . −1 . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1 −1 1 1 · · · 1 1 Ri+Rn,i=1,2,...,n−1 ============== 2 0 · · · 0 0 2 2 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 2 2 · · · 2 0 1 1 · · · 1 1 = 2n−1 按行列式定义, 该行列式中各项为 +1 或 −1, 因此 正项数 − 负项数 = 2n−1 , 正项数 + 负项数 = 总项数 = n! 因此, 正项总数 = 1 2 2 n−1 + n! = 2n−2 + n! 2 . 8. 计算下列行列式 (a). D4 = 2 1 1 1 4 2 1 −1 201 202 −99 98 1 2 1 −2 (b). Dn = x a · · · a a x . . . . . . . . . . . . . . . a a · · · a x 解: (a) D4 R3−R4 ====== 2 1 1 1 4 2 1 −1 200 200 −100 100 1 2 1 −2 = 100 2 1 1 1 4 2 1 −1 2 2 −1 1 1 2 1 −2 R2 − 2R1 R3 − R1 R1 − 2R4 ========= 100 0 −3 −1 5 0 0 −1 −3 0 1 −2 0 1 2 1 −2 = (−100) −3 −1 5 0 −1 −3 1 −2 0 = −2600 (b) Dn R1+Ri,i=2,3,...,n ============ (x + (n − 1)a) 1 1 · · · 1 a x · · · a . . . . . . . . . . . . a · · · a x Ri−a∗R1,i=2,3,...,n ============== (x + (n − 1)a) 1 1 · · · 1 0 x − a · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 · · · 0 x − a = (x − a) n + na (x − a) n−1 (c). Dn = x a · · · a a −a x a · · · a . . . . . . . . . . . . . . . −a · · · −a x a −a −a · · · −a x (d). Dn = x1 − m x2 · · · xn x1 x2 − m · · · xn · · · · · · · · · · · · x1 x2 · · · xn − m
解:(c) C1-1,i=n,n-1, 0 0 2+a 0 =x(x+a)2--a(x-a) 0 1 a 1 +a a-r 令△n 0 △n-1=(x+a)-2+(x-a)△n-2=(x+a)y-2+(x-a)(x+a)n-3+(x-a)2△n=3= (+a)m-2-i (x-0)+(-=/-3D=云 ∑(x+a)-2-(x-a)2+2x(x-a)n 因此 Dn=r(a +a)n-I-a(a-a)An-1 a(x+a)y-1-a∑(x+a2-1-(x-a)2-2ar(x-a) 234 345 3
解: (c) Dn ================ Ci−Ci−1,i=n,n−1,...,2 x a − x 0 · · · 0 −a x + a a − x . . . . . . −a 0 x + a . . . 0 . . . . . . . . . . . . a − x −a 0 · · · 0 x + a = x (x + a) n−1 − a(x − a) 1 a − x 0 · · · 0 1 x + a a − x . . . . . . . . . 0 . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . a − x 1 0 · · · 0 x + a (n−1) 令 4n−1 = 1 a − x 0 · · · 0 1 x + a a − x . . . . . . . . . 0 . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . a − x 1 0 · · · 0 x + a (n−1) , 则 4n−1 = (x + a) n−2 + (x − a)4n−2 = (x + a) n−2 + (x − a)(x + a) n−3 + (x − a) 24n−3 = · · · = nX−4 i=0 (x + a) n−2−i (x − a) i + (x − a) n−342 = nX−4 i=0 (x + a) n−2−i (x − a) i + 2x(x − a) n−3 因此 Dn = x(x + a) n−1 − a(x − a)4n−1 = x(x + a) n−1 − a(x − a) " nX−4 i=0 (x + a) n−2−i (x − a) i + 2x(x − a) n−3 # = a(x + a) n−1 − a nX−3 i=1 (x + a) n−1−i (x − a) i − 2ax(x − a) n−2 (e). Dn = 1 2 3 · · · n − 1 n 2 3 4 · · · n 1 3 4 5 · · · 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . n − 1 n 1 · · · n − 3 n − 2 n 1 2 · · · n − 2 n − 1