线性代数 第四章线性空间 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-4-11
线性代数 第四章 线性空间 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-4-11
一、线性空间的定义 线性空间是线性代数最基本的概念之一,也是 个抽象的概念,它是苘量空间概念的摧广 线性空间是为了解决实际问题而引入的,它是 某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际问题 看作向量空间,进而通过研究向量空间来解决实际 问题
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的 ，它是 一、线性空间的定义 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题 看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题．
定义1设V是一个非空集合,R为实数域.如果 对于任意两个元素a,B∈V,总有唯一的一个元 素y∈Ⅳ与之对应,称为a与B的和,记作 r=a+B 若对于任一数∈R与任一元素∈V,总有唯 的一个元素δ∈V与之对应,称为几与0的积, 记作 6=a
γ = α + β 定义１ 设 是一个非空集合， 为实数域．如果 对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元 素 与之对应，称为 与 的和，记作 α,β ∈V γ ∈V α β V R 若对于任一数 与任一元素 ，总有唯 一的一个元素 与之对应，称为 与 的积， 记作 λ ∈ R α ∈V δ ∈V λ α δ = λα
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律,那 么就称为数域R上的向量空间(或线性空间) 设a,B,y∈V;,p∈R (1)a+B=B+c;加法交换律 (2)(a+B)+y=a+(B+y);加法结合律 (3)在中存在零元素0,对任何a∈V,都有 c+0=0;
设α,β,γ ∈V;λ,µ ∈ R (1)α + β = β +α; 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 就称为数 V 域 上的向量空间 域 R上的向量空间（或线性空间）． 加法交换律 0 ; (3) 0, , α α α + = 在V中存在零元素 对任何 ∈V 都有 (1)α + β = β +α; (2) (α + β )+ γ =α + (β + γ ); 加法结合律
(4)对任何a∈,都有a的负元素β∈V,使 a+B=0; (5)1a=a; (6)4(ax)=()ar; (7)(+)a=a+10; (8)(a+6)=Aa+4B
(5) 1α =α; (6) λ(µα ) = (λµ)α; ;0 (4) , , + = ∈ ∈ α β 对任何α V 都有α的负元素β V 使 (6) λ(µα ) = (λµ)α; (8)λ(α + β ) = λα + λβ . (7)(λ + µ)α = λα + µα;