§4线性方程组的解的结构 引言 问题:什么是线性方程组的解的结构? 答:所谓线性方程组的解的结构,就是当线性方程组有无限 多个解时,解与解之间的相互关系 备注 当方程组存在唯一解时,无须讨论解的结构 下面的讨论都是假设线性方程组有解
引言 问题：什么是线性方程组的解的结构？ 答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限 多个解时，解与解之间的相互关系． §4 线性方程组的解的结构 多个解时，解与解之间的相互关系． 备注： 当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构． 下面的讨论都是假设线性方程组有解．
解向量的定义 定义:设有齐次线性方程组Ax=0,如果 119 219 为该方程组的解,则 21 称为方程组的解向量
解向量的定义 定义：设有齐次线性方程组 Ax = 0 ，如果 x1 = ξ11，x2 = ξ21，...， xn = ξn1 为该方程组的解，则 11 ξ 称为方程组的解向量． 11 21 n1 ξ ξ ξ = M
齐次线性方程组的解的性质 性质1:若x=51,x=52是齐次线性方程组Ax=0的解, 则x=51+2还是Ax=0的解 证明:A(51+52)=A51+A52=0+0=0 性质2:若x=5是齐次线性方程组Ax=0的解,k为实数, 则x=k还是Ax=0的解 证明:4(k2)=k(A5)=k0=0
齐次线性方程组的解的性质 性质1： 若 x = ξ1， x = ξ2是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = ξ1 + ξ2 还是 Ax = 0 的解． 证明： A(ξ1 + ξ2 ) = Aξ1+ Aξ2 = 0 + 0 = 0 ． 性质2： 若 x = ξ 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数， 则 x = kξ 还是 Ax = 0 的解． 证明： A( kξ ) = k ( Aξ ) = k 0 = 0 ．
结论:若x=5,x=52,…,x=5是齐次线性方程组Ax=0 的解,则x=k151+k252+…+k,5还是Ax=0的解 口已知齐次方程组Ax=0的几个解向量,可以通过这些解 向量的线性组合给出更多的解 口能否通过有限个解向量的线性组合把Ax=0的解全部表 示出来? 口把Ax=0的全体解组成的集合记作S,若求得S的一个 极大无关组S;x=5,x=52,…,x=5,那么Ax=0的 通解可表示为x=k151+k22+…+kl 口齐次线性方程组的解集的极大无关组称为该齐次线性方 程组的基础解系(不唯一)
结论：若 x = ξ1, x = ξ2, ...,, x = ξt 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = k1ξ1 + k2ξ2 + … + ktξt 还是 Ax = 0 的解. 已知齐次方程组 Ax = 0 的几个解向量，可以通过这些解 ，可以通过这些解 向量的线性组合给出更多的解． 能否通过有限个解向量的线性组合把 Ax = 0 的解全部表 示出来？ 把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作 S，若求得 S 的一个 极大无关组S0：x = ξ1, x = ξ2, ...,, x = ξt，那么Ax = 0 的 通解可表示为 x = k1ξ1 + k2ξ2 + … + ktξt ． 齐次线性方程组的解集的极大无关组称为该齐次线性方 程组的基础解系（不唯一）．
回顾:向量组的秩的概念 定义:设有向量组A,如果在A中能选出r个向量a1,a2,…, a,满足 ①向量组A:a1,a2,…,a线性无关; ②向量组A中任意r+1个向量(如果A中有r+1个向量的 话)都线性相关; ②向量组A中任意一个向量都能由向量组A线性表示; 那么称向量组A是向量组A的一个极大无关组 向量组的极大无关组一般是不唯一的. 返回
回顾：向量组的秩的概念 定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …, ar，满足 ① 向量组 A0 ：a1, a2, …, ar 线性无关； ② 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有r + 1个向量的 话）都线性相关； ②' 向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示； 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个极大无关组． 向量组的极大无关组一般是不唯一的． 返回