线性代数 第四章线性空间 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-4-25
线性代数 第四章 线性空间 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-4-25
第二节维数、基、坐标
第二节 维数、基、坐标
一、线性空间的基与维数 已知:在R中,线性无关的向量组最多由n个向量组成,而 任意n+1个向量都是线性相关的. 问题:线性空间的一个重要特征——在线性空间V,最多能有多少 线性无关的向量? 定义1在线性空间V,如果存在n个元素 满足: ,双n线性无关 (2)V中任意元素a总可以由双1,2,…,双n线性表示 那么,双1,双 ,a,称为空间L的一个基( basis,而n 称为空间V的维数( dimension)
一、线性空间的基与维数 已知：在 中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而 任意 个向量都是线性相关的． R n n n + 1 问题：线性空间的一个重要特征——在线性空间 V中，最多能有多少 线性无关的向量 ？ 定义１ 在线性空间 V中，如果存在 n个元素 α , α , , α 满足： (1) 线性无关 (2) V中任意元素 α总可以由 线性表示 那么， 称为空间 V的一个基(basis),而 n 称为空间 V的维数(dimension) 。 α α α n , , , 1 2 L α α α n , , , 1 2 L α α α n , , , 1 2 L α α α n , , , 1 2 L
维数为m的线性空间称为n维线性空间,记作mn 当一个线性空间V存在任意多个线性无关的向量时,就称V 是无限维的. 若 ,an为Vm的一个基,则n可表示为 n={=xa+x2a2+…+x,an|x,x2,…,x∈R
维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作Vn. 当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向量时，就称 V 是无限维的． 若 为 α 1 , α 2 , L , α n Vn的一个基，则Vn可表示为： Vn = {α = x1α1 + x2α2 +L+ xnαn x1, x2 ,L, xn ∈ R}
、元素在给定基下的坐标 定义2 设双1,双2,…,双n是线性空间n的一个基,对于任意元素 总有且仅有一组有序数组x1,2x2…,xn,使 c=x10n1+x2C2+…+xnCn 有序组x,x2…,x称为元素u在a1,a2,…,an这个基下的坐 标
, α = x1α1 + x2α 2 +L+ xnα n 定义２ 设 是线性空间Vn的一个基，对于任意元素 总有 且仅有一组有序数组 ，使 有序组 称为元素α在 这个基下的坐 二、元素在给定基下的坐标 α α α n , , , 1 2 L n x , x , , x 1 2 L n x , x , , x 1 2 L α α α n , , , 1 2 L 标. 1 2 n α α α n , , , 1 2 L